Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 40 стр.

40        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

лялись в линейной алгебре. Там же были определены и та-
кие понятия, как подпространство линейного пространства,
линейно зависимые и линейно независимые системы векторов,
линейное отображение, изоморфизм линейных пространств и
т.д. Для полноты изложения приведём некоторые из этих опре-
делений.
   Определение 1. Линейным или векторным простран-
ством над полем действительных (комплексных) чисел на-
зывается множество L элементов x,y,z, . . . произвольной при-
роды, для которых определены операции сложения двух
элементов и умножения элементов на действительные
(комплексные) числа, т.е.
1) каждой паре x,y элементов из L поставлен в соответствие
   некоторый элемент из L, который называется суммой эле-
   ментов x,y и обозначается x + y;
2) каждому элементу x из L и каждому действительному (ком-
   плексному) числу α поставлен в соответствие некоторый
   элемент из L, который называется произведением элемента
   x на число α и обозначается αx;
причём эти операции удовлетворяют следующим двум груп-
пам условий:
I. 1) x + y = y + x (коммутативность сложения);
   2) x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность сложения);
   3) существует элемент, называемый нулевым и обозначае-
      мый 0, такой, что

                          x + 0 = x ∀ x ∈ L;

    4)   ∀ x ∈ L ∃ y ∈ L : x + y = 0;
II. 5)   1x = x ∀ x ∈ L;
    6)   α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);
    7)   (α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительно
         числового множителя);