Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
ного пространства называется линейно независимой, если лю-
бая её конечная подсистема линейно независима.
Определение 4. Линейное пространство называется n-
мерным, если в нём существуют n линейно независимых век-
торов, а любые n + 1 векторов линейно зависимы. Линейное
пространство называется бесконечномерным, если для любого
n ∈ N в нём существуют n линейно независимых векторов.
Заметим, что в линейной алгебре изучаются в основном
только конечномерные пространства. Бесконечномерные про-
странства являются предметом изучения математического или
функционального анализа.
Напомним ещё некоторые понятия, относящиеся к линей-
ным пространствам.
Определение 5. Пусть задана некоторая система элемен-
тов линейного пространства L. Совокупность всех линейных
комбинаций э той системы называется её линейной оболочкой.
Очевидно, линейная оболочка любой системы элементов ли-
нейного пространства L является подпространством этого про-
странства.
Определение 6. Отображение f линейного пространства
X в линейное пространство Y называется линейным отобра-
жением (или линейным оператором), если для любых векто-
ров x,y из X и любых чисел α,β
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).
Множество всех линейных операторов , отображающих X
в Y , обозначается L(X,Y ). Легко видеть, что при обычном
определении сложения двух операторов и умножения оператора
на число, это множество является линейным пространством.
Определение 7. Любое линейное взаимно однозначное
отображение линейного пространства X на линейное про-
42     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

ного пространства называется линейно независимой, если лю-
бая её конечная подсистема линейно независима.
   Определение 4. Линейное пространство называется n-
мерным, если в нём существуют n линейно независимых век-
торов, а любые n + 1 векторов линейно зависимы. Линейное
пространство называется бесконечномерным, если для любого
n ∈ N в нём существуют n линейно независимых векторов.
   Заметим, что в линейной алгебре изучаются в основном
только конечномерные пространства. Бесконечномерные про-
странства являются предметом изучения математического или
функционального анализа.
   Напомним ещё некоторые понятия, относящиеся к линей-
ным пространствам.
   Определение 5. Пусть задана некоторая система элемен-
тов линейного пространства L. Совокупность всех линейных
комбинаций этой системы называется её линейной оболочкой.
   Очевидно, линейная оболочка любой системы элементов ли-
нейного пространства L является подпространством этого про-
странства.
   Определение 6. Отображение f линейного пространства
X в линейное пространство Y называется линейным отобра-
жением (или линейным оператором), если для любых векто-
ров x,y из X и любых чисел α,β
                f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).

   Множество всех линейных операторов, отображающих X
в Y , обозначается L(X,Y ). Легко видеть, что при обычном
определении сложения двух операторов и умножения оператора
на число, это множество является линейным пространством.
   Определение 7. Любое линейное взаимно однозначное
отображение линейного пространства X на линейное про-

Страницы