Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 43 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства       43

странство Y называется изоморфизмом этих пространств. В
этом случае пространства X, Y называются изоморфными.
   Изоморфные пространства могут отличаться лишь приро-
дой своих элементов, а не своими свойствами. Поэтому при из-
учении свойств линейных пространств изоморфные простран-
ства не различаются.
3.2. Линейные нормированные пространства
   В линейном нормированном пространстве, как следует из
самого названия, кроме понятий линейного пространства, име-
ются ещё понятия, связанные с длиной (нормой) элементов
этого пространства.
   Определение 1. Линейное пространство X (над полем
действительных или комплексных чисел) называется норми-
рованным, если на X определена функция kxk : x → R такая,
что
     1) kxk > 0 ∀ x ∈ X;
     2) kαxk = |α| · kxk   ∀ x ∈ X,    ∀ α ∈ R (или α ∈ C);
     3) kx + yk 6 kxk + kyk    ∀ x,y ∈ X;
     4) kxk = 0 ⇒ x = 0.
Эта функция называется нормой в пространстве X, а число
kxk — нормой элемента или вектора x. Свойства 1)–4) на-
зываются аксиомами нормы. В частности, свойство 2) назы-
вается однородностью нормы. а свойство 3) — неравенством
треугольника.
   Примерами линейных нормированных пространств явля-
ются линейное пространство Rn векторов x = (x1 , . . . ,xn ) с
нормой                   q
                   kxk = x21 + . . . + x2n                     (1)
                         n
и линейное пространство C векторов z = (z1 , . . . ,zn ) с нормой
                       p
                 kzk = |z1 |2 + . . . + |zn |2 .