Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 44 стр.

44     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Первое — над полем действительных чисел, а второе — над
полем комплексных чисел.
   Очевидно, в линейном пространстве Cn (соответственно и
в Rn ) нормой будет и функция
                       kzk = sup |zj |.                   (2)
                                  j

   Другим важным примером линейного пространства явля-
ется пространство C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функ-
ций f с нормой
                    kf k = max |f (x)|.                   (3)
                            x∈[a;b]
   Очевидно, в линейном пространстве непрерывных на от-
резке [a; b] функций f функция
                              Z b
                      kf k1 =     |f (x)| dx        (4)
                              a
тоже удовлетворяет все аксиомам нормы. Однако в линейном
пространстве интегрируемых на отрезке [a; b] функций функ-
ция (4) не будет нормой: она не удовлетворяет аксиоме 4).
Первое пространство будем обозначать CL1 [a; b], а второе —
RL1 [a; b].
   Определение 2. Функция kxk : X → R, удовлетворяющая
аксиомам 1), 2), 3) нормы, но не удовлетворяющая аксиоме 4),
называется полунормой. Линейное пространство с полунормой
называется полунормированным.
   Функция (4) в линейном пространстве интегрируемых на
отрезке [a; b] функций является полунормой. Однако если
функции f и g, для которых kf − gk1 = 0, считать равными,
то функция (4) будет нормой в RL1 [a; b].
   Аналогично, в линейном пространстве непрерывно диффе-
ренцируемых функций f на отрезке [a; b] функция
                     kf k = max |f 0 (x)|                 (5)
                            x∈[a;b]