Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 46 стр.

46      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


физм f линейных пространств X1 и X2 такой, что kf (x)k2 =
= kxk1 .
   Изоморфизм линейных пространств X1 , X2 , сохраняющий
норму, называется изоморфизмом линейных нормированных
пространств X1 , X2 .
   Изоморфные нормированные пространства могут отли-
чаться только природой своих элементов, а не свойствами са-
мих пространств. Поэтому при изучении свойств нормирован-
ных пространств изоморфные пространства не различаются.
   Определение 5. В линейном пространстве X две нормы
kxk и kxk∗ называются эквивалентными, если существуют та-
кие положительные постоянные c1 и c2 , что

                 c1 kxk 6 kxk∗ 6 c2 kxk   ∀ x ∈ X.

    Легко видеть, что в линейном пространстве Rn нормы (1)
и (2) эквивалентны. Действительно,
                       q                   √
            sup |xj | 6 x21 + . . . + x2n 6 n sup |xj |.
             j                                 j

Вообще, для конечномерных пространств справедливо следу-
ющее утверждение.

   Теорема. В конечномерном линейном пространстве все
нормы эквивалентны.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X — n-мерное линейное
пространство над полем действительных чисел, и пусть kxk
— некоторая норма в пространстве X. Выберем в X какой-то
базис e1 , . . . ,en и покажем, что норма kxk эквивалентна норме
                                q
                         kxk2 = x21 + . . . + x2n ,

где x1 , . . . ,xn — координаты вектора x по выбранному базису.