Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 48 стр.

48      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Пусть в линейном нормированном пространстве X выде-
лена некоторая система элементов

                          xα ,    α ∈ A,                       (6)

где A — множество индексов.
   Определение 6. Система элементов (6) называется полной
в пространстве X, если её линейная оболочка плотна в X, т.е.
если для любого элемента x ∈ X выполняется условие:
   для любого ε > 0 существуют такие элементы
   xα1 , . . . ,xαn системы (6) и такие числа λ1 , . . . ,λn , что

                            n
                            X
                       x−         λj xαj < ε.
                            j=1


   Определение 7. Линейное нормированное пространство
называется сепарабельным, если в нём существует счётная си-
стема элементов, линейная оболочка которой плотна в этом
пространстве.
   Из теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных
функций многочленами следует, что в пространстве C[a; b] си-
стема функций
                        1,x,x2 , . . . ,xn , . . .       (7)
является полной. Следовательно, пространство C[a; b] сепа-
рабельное.
   Легко доказать, что пространство Lp (∆), где p > 1 и ∆ =
= [a; b], тоже является сепарабельным.
     Определение               8.   Последовательность элементов
e1 ,e2 , . . . ,en , . . . линейного нормированного пространства
X называется базисом пространства X, если каждый эле-
мент x ∈ X имеет и притом единственное разложение по
этой системе, т.е. если существует и притом единственная