Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 50 стр.

50      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

При доказательстве теоремы о пополнении метрического про-
странства X было построено полное метрическое простран-
ство X ∗ , элементами которого являются классы эквивалент-
ных фундаментальных последовательностей элементов из X, и
было показано, что множество X 0 , элементами которого явля-
ются классы последовательностей, каждый из которых содер-
жит постоянную последовательность, изометрично простран-
ству X и плотно в X ∗ .
   Для доказательства настоящей теоремы достаточно в X ∗
ввести линейные операции и норму так, чтобы X 0 было под-
пространством пространства X ∗ и чтобы оно было изоморфно
пространству X.
   Пусть x∗ ∈ X ∗ и y ∗ ∈ X ∗ . Тогда если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ ,
то через x∗ + y ∗ обозначим класс эквивалентных последова-
тельностей, который содержит фундаментальную последова-
тельность {xn + yn }, а через λx∗ , где λ — число, обозначим
класс, содержащий последовательность {λxn }. Легко прове-
ряется, что тогда X ∗ — линейное пространство, а X 0 — его
подпространство, т.е. X 0 замкнуто относительно введённых
линейных операций.
   Чтобы ввести норму в X ∗ , заметим, что если последова-
тельность {xn } фундаментальная, то числовая последователь-
ность {kxn k} тоже фундаментальная, так как

                kxn k − kxm k 6 kxn − xm k     ∀ n,m.

Поэтому по определению положим
                        kx∗ k∗ = lim kxn k.
                                 n→∞

Легко видеть, что этот предел не зависит от выбора последо-
вательности {xn } ∈ X ∗ . Кроме того, если x∗ ∈ X 0 и {x} ∈ x∗ ,
то
                          kx∗ k∗ = kxk.