Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 51 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства     51


   Функция kx∗ k∗ на X ∗ удовлетворяет всем аксиомам нормы.
Действительно,
           kλx∗ k∗ = lim kλxn k = λkx∗ k∗ ,
                     n→∞
        kx∗ + y ∗ k∗ = lim kxn + yn k 6
                     n→∞
                   6 lim (kxn + yn k) = kx∗ k∗ + ky ∗ k∗ .
                     n→∞
   Теорема доказана.
   Так как в теории линейных нормированных пространств
изоморфные пространства не различаются, то линейное нор-
мированное пространство X 0 , построенное при доказательстве
теоремы о пополнении, отождествляется с пространством X,
и поэтому доказанную теорему часто формулируют так:
   Любое линейное нормированное пространство содержится
и плотно в некотором банаховом пространстве.
3.4. Примеры линейных нормированных пространств
   В пункте 3.2 уже были рассмотрены линейные нормиро-
ванные пространства Rn , C[a; b] и CL1 [a; b]. В этом пункте
рассмотрим ещё несколько важных примеров нормированных
пространств.
   Пример 1. Рассмотрим семейство линейных нормирован-
ных пространств, элементами которых являются точки из Rn ,
а норма для x = (x1 , . . . ,xn ) определяется по формуле
                                            1/p
                                   Xn
                    kxkp =           |xj |p  ,          (1)
                              j=1

где p > 1. В частных случаях, когда p = 1 и p = 2, известно,
что функция (1) на Rn удовлетворяет всем аксиомам нормы.
В общем случае достаточно проверить, что для этой функции
справедливо неравенство треугольника.
   Сначала докажем несколько вспомогательных утвержде-
ний.