Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Линейные, нормированные и банаховы пространства 53
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если kxk
p
= 0 или
kyk
q
= 0, то неравенство (3) справедливо. Предположим, что
kxk
p
6= 0 и kyk
q
6= 0, и в неравенстве (2) положим
a =
|x
j
|
kxk
p
, b =
|y
j
|
kyk
q
.
Тогда
|x
j
y
j
|
kxk
p
kyk
q
6
1
p
·
|x
j
|
p
kxk
p
p
+
1
q
·
|y
j
|
q
kyk
q
q
.
Просуммируем эти неравенства по j от 1 до n. В результате
получим:
n
P
j=1
|x
j
y
j
|
kxk
p
kyk
q
6
1
p
+
1
q
= 1.
Лемма 2 доказана.
Неравенство (3) называется неравенством Гльдера для
сумм. В частном случае при p = q = 2 оно обращается в
неравенство Буняковского.
Применяя неравенство Гёльдера, получаем:
n
X
j=1
|x
j
+ y
j
|
p
6
n
X
j=1
|x
j
+ y
j
|
p−1
|x
j
| +
n
X
j=1
|x
j
+ y
j
|
p−1
|y
j
| 6
6
n
X
j=1
|x
j
+ y
j
|
(p−1)q
1/q
· (kxk
p
+ kyk
p
) .
А так как (p − 1)q = p, то
kx + yk
p
p
6 kx + yk
p/q
p
(kxk
p
+ kyk
p
) ,
и, следовательно,
kx + yk
p
6 kxk
p
+ kyk
p
.
Это неравенство треугольника для нормы (1) называется не-
равенством Минковского для сумм.
    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства                                53


   Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если kxkp = 0 или
kykq = 0, то неравенство (3) справедливо. Предположим, что
kxkp 6= 0 и kykq 6= 0, и в неравенстве (2) положим
                                |xj |                |yj |
                         a=           ,         b=         .
                                kxkp                 kykq
Тогда
                |xj yj |      1 |xj |p   1 |yj |q
                           6 ·       p +  ·       .
              kxkp kykq       p kxkp q kykqq
Просуммируем эти неравенства по j от 1 до n. В результате
получим:
                     n
                     P
                         |xj yj |
                    j=1            1 1
                                  6 + = 1.
                    kxkp kykq      p q
   Лемма 2 доказана.
   Неравенство (3) называется неравенством Гльдера для
сумм. В частном случае при p = q = 2 оно обращается в
неравенство Буняковского.
   Применяя неравенство Гёльдера, получаем:
   n
   X                     n
                         X                                n
                                                          X
                 p                        p−1
         |xj + yj | 6          |xj + yj |       |xj | +         |xj + yj |p−1 |yj | 6
   j=1                   j=1                              j=1
                                           1/q
                   n
                   X
             6          |xj + yj |(p−1)q          · (kxkp + kykp ) .
                   j=1

А так как (p − 1)q = p, то
                kx + ykpp 6 kx + ykp/q
                                   p (kxkp + kykp ) ,

и, следовательно,
                          kx + ykp 6 kxkp + kykp .
Это неравенство треугольника для нормы (1) называется не-
равенством Минковского для сумм.

Страницы