Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Лемма 3. Для любого x = (x
1
, . . . ,x
n
) справедливо равен-
ство
lim
p→+∞
n
X
j=1
|x
j
|
p
1/p
= max
j
|x
j
|. (4)
Действительно, пусть, например,
max
j
|x
j
| = |x
1
|, x
1
6= 0.
Тогда
kxk
p
= |x
1
|
1 +
n
X
j=2
|x
j
|
p
|x
1
|
p
1/p
→ |x
1
|
при p → +∞.
Равенство (4) можно записать в следующем виде:
kxk
∞
= max
j
|x
j
|.
Используя это обозначение, в случае p = 1 получаем неравен-
ство
n
X
j=1
|x
j
y
j
| 6 kxk
1
kyk
∞
,
которое аналогично неравенству Гёльдера в случае p > 1.
Очевидно, что для любого p > 1 справедливо неравенс тво
kxk
∞
6 kxk
p
6 n
1/p
kxk
∞
.
Из того, что в R
n
все нормы эквивалентны, и того, что R
n
с нормой kxk
2
полно, следует, что R
n
с любой нормой является
полным пространством.
Пример 2. Пусть X — множество всех ограниченных
числовых последовательностей {ξ
k
}, {η
k
},. . . Линейные опера-
ции для них введём обычным образом. Именно, если x = {ξ
k
},
y = {η
k
}, то по определению положим
x + y = {ξ
k
+ η
k
}, αx = {αξ
k
},
54       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


   Лемма 3. Для любого x = (x1 , . . . ,xn ) справедливо равен-
ство                        1/p
                   Xn
             lim     |xj |p  = max |xj |.                 (4)
                p→+∞                                 j
                           j=1

     Действительно, пусть, например,
                    max |xj | = |x1 |,     x1 6= 0.
                      j

Тогда
                                                1/p
                                 n
                                 X |xj |p
             kxkp = |x1 | 1 +                          → |x1 |
                                        |x1 |p
                                 j=2
при p → +∞.
   Равенство (4) можно записать в следующем виде:
                          kxk∞ = max |xj |.
                                    j

Используя это обозначение, в случае p = 1 получаем неравен-
ство
                   Xn
                      |xj yj | 6 kxk1 kyk∞ ,
                     j=1
которое аналогично неравенству Гёльдера в случае p > 1.
   Очевидно, что для любого p > 1 справедливо неравенство
                   kxk∞ 6 kxkp 6 n1/p kxk∞ .
    Из того, что в Rn все нормы эквивалентны, и того, что Rn
с нормой kxk2 полно, следует, что Rn с любой нормой является
полным пространством.
   Пример 2. Пусть X — множество всех ограниченных
числовых последовательностей {ξk }, {ηk },. . . Линейные опера-
ции для них введём обычным образом. Именно, если x = {ξk },
y = {ηk }, то по определению положим
                x + y = {ξk + ηk },       αx = {αξk },

Страницы