Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Лемма 1. Для любых неотрицательных чисел a и b и
любого p > 1 справедливо неравенство
ab 6
a
p
p
+
b
q
q
, (2)
где q такое, что
1
p
+
1
q
= 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
y = x
p−1
, x > 0.
Она на промежутке [0; +∞) строго возрастает и имеет обрат-
ную
x = y
q−1
, y > 0.
0
a
b
A
B
x
y
Рис. 1
Очевидно, площа дь криво-
линейной трапеции 0aA (рис. 1)
равна
1
q
b
q
. Кроме того, для
любых a > 0 и b > 0 объ-
единение этих трапеций содер-
жит прямоугольник [0; a]×[0; b],
площадь которого равна ab.
Следовательно, для любых a >
> 0 и b > 0 справедливо не-
равенство (2), причём равен-
ство будет достигаться тогда и
только тогда, когда точки A и
B совпадают, т.е. когда b = a
p−1
.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для любых x = (x
1
, . . . ,x
n
) и y = (y
1
, . . . ,y
n
) и
любого p > 1 справедливо неравенство
n
X
j=1
|x
j
y
j
| 6 kxk
p
kyk
q
, (3)
где q такое, что
1
p
+
1
q
= 1.
52       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

  Лемма 1. Для любых неотрицательных чисел a и b и
любого p > 1 справедливо неравенство
                            ap bq
                       ab 6   +    ,           (2)
                            p    q
                  1   1
где q такое, что p + q = 1.

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
                          y = xp−1 ,   x > 0.
Она на промежутке [0; +∞) строго возрастает и имеет обрат-
ную
                     x = y q−1 , y > 0.
                                  Очевидно, площадь криво-
 y                             линейной трапеции 0aA (рис. 1)
                                           1
                              равна q bq . Кроме того, для
                       A      любых a > 0 и b > 0 объ-
                              единение этих трапеций содер-
                              жит прямоугольник [0; a]×[0; b],
              B               площадь которого равна ab.
 b
                              Следовательно, для любых a >
 0                   a     x > 0 и b > 0 справедливо не-
                              равенство (2), причём равен-
          Рис. 1              ство будет достигаться тогда и
                              только тогда, когда точки A и
B совпадают, т.е. когда b = ap−1 .
   Лемма 1 доказана.
  Лемма 2. Для любых x = (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) и
любого p > 1 справедливо неравенство
                    n
                    X
                      |xj yj | 6 kxkp kykq ,                     (3)
                      j=1
                  1   1
где q такое, что p + q = 1.

Страницы