Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Таким образом, пространство m ограниченных числовых
последовательностей банахово.
Пример 3. Пусть X — множество всех сходящихся чи-
словых последовательностей {ξ
k
}, {η
k
},. . . Линейные операции
и норму введём так же, как и в пространстве m ограниченных
числовых последовательностей. Полученное линейное норми-
рованное пространство является подпространством простран-
ства m. Оно называется пространством c сходящихся после-
довательностей. Покажем, что это пространство полное.
Пусть последовательность {x
n
} элементов пространства c
является фундаментальной. Из полноты пространства m сле-
дует, что {x
n
} сходится к некоторому x = {ξ
k
} ∈ m.
Последовательность {ξ
k
} сходящаяся. Действительно, для
любого ε > 0 существует N такое, что
|ξ
k+p
− ξ
k
| 6 |ξ
k+p
− ξ
N
k+p
| + |ξ
k+p
− ξ
N
k
| + |ξ
N
k
− ξ
k
|+ 6
6 2kx − x
N
k + |ξ
N
k+p
− ξ
N
k
| < 2ε + |ξ
N
k+p
− ξ
N
k
|
для любых k и p. А так как последовательность {ξ
N
k
} сходя-
щаяся, то отсюда следует, что последовательность {ξ
k
} фун-
даментальная, и поэтому тоже сходящаяся.
Таким образом, пространство c сходящихся числовых по-
следовательностей банахово.
Пример 4. Пусть X — множество всех числовых после-
довательностей {ξ
k
}, {η
k
},. . . , для которых ряд
∞
X
k=1
|ξ
k
|
p
, p > 1,
сходится.
Результаты линейных операций, определённых так же, как
и в примерах 2 и 3, принадлежат множеству X. Действи-
56        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Таким образом, пространство m ограниченных числовых
последовательностей банахово.
   Пример 3. Пусть X — множество всех сходящихся чи-
словых последовательностей {ξk }, {ηk },. . . Линейные операции
и норму введём так же, как и в пространстве m ограниченных
числовых последовательностей. Полученное линейное норми-
рованное пространство является подпространством простран-
ства m. Оно называется пространством c сходящихся после-
довательностей. Покажем, что это пространство полное.
   Пусть последовательность {xn } элементов пространства c
является фундаментальной. Из полноты пространства m сле-
дует, что {xn } сходится к некоторому x = {ξk } ∈ m.
  Последовательность {ξk } сходящаяся. Действительно, для
любого ε > 0 существует N такое, что
                             N
     |ξk+p − ξk | 6 |ξk+p − ξk+p | + |ξk+p − ξkN | + |ξkN − ξk |+ 6
                                  N
                 6 2kx − xN k + |ξk+p − ξkN | < 2ε + |ξk+p
                                                       N
                                                           − ξkN |

для любых k и p. А так как последовательность {ξkN } сходя-
щаяся, то отсюда следует, что последовательность {ξk } фун-
даментальная, и поэтому тоже сходящаяся.
   Таким образом, пространство c сходящихся числовых по-
следовательностей банахово.
   Пример 4. Пусть X — множество всех числовых после-
довательностей {ξk }, {ηk },. . . , для которых ряд
                           ∞
                           X
                                 |ξk |p ,   p > 1,
                           k=1

сходится.
   Результаты линейных операций, определённых так же, как
и в примерах 2 и 3, принадлежат множеству X. Действи-

Страницы