Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
для любого M ∈ N и любых n,m > N, и поэтому в пределе при
m → +∞ имеем:
M
X
k=1
|ξ
n
k
− ξ
k
|
p
6 ε
p
∀n 6 N.
Отсюда при M → +∞ получаем:
∞
X
k=1
|ξ
n
k
− ξ
k
|
p
6 ε
p
∀n > N,
т.е. kx
n
− xk
p
6 ε ∀n > N.
Наконец, из неравенства
kxk
p
6 kx − x
N
k
p
+ kx
N
k
p
6 ε + kx
N
k
p
следует, что x ∈ l
p
.
Таким образом, пространство l
p
банахово.
Пример 5. Рассмотрим множество всех функций f, опре-
делённых и непрерывных на отрезке [a; b]. Очевидно, это мно-
жество с естественными линейными функциями является ли-
нейным пространством. На этом пространстве рассмотрим
функцию
kfk
p
=
Z
b
a
|f(x)|
p
dx
1/p
(8)
и покажем, что она при любом p > 1 удовлетворяет всем акси-
омам нормы. Очевидно, нуждается в проверке только неравен-
ство треугольника. Для этого сначала докажем неравенство
Гльдера для интегралов.
Лемма 4. Для любых двух функций f и g, определённых
и непрерывных на отрезке [a; b], и любого p > 1 справедливо
неравенство
Z
b
a
|f(x)g(x)|dx 6 kfk
p
· kgk
q
, (9)
где q такое, что
1
p
+
1
q
= 1.
58      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

для любого M ∈ N и любых n,m > N , и поэтому в пределе при
m → +∞ имеем:
                 M
                 X
                       |ξkn − ξk |p 6 εp   ∀ n 6 N.
                 k=1

Отсюда при M → +∞ получаем:
                 ∞
                 X
                       |ξkn − ξk |p 6 εp   ∀ n > N,
                 k=1

т.е. kxn − xkp 6 ε ∀ n > N .
    Наконец, из неравенства
            kxkp 6 kx − xN kp + kxN kp 6 ε + kxN kp
следует, что x ∈ lp .
   Таким образом, пространство lp банахово.
   Пример 5. Рассмотрим множество всех функций f , опре-
делённых и непрерывных на отрезке [a; b]. Очевидно, это мно-
жество с естественными линейными функциями является ли-
нейным пространством. На этом пространстве рассмотрим
функцию                  Z b            1/p
                                     p
                 kf kp =      |f (x)| dx                 (8)
                                a
и покажем, что она при любом p > 1 удовлетворяет всем акси-
омам нормы. Очевидно, нуждается в проверке только неравен-
ство треугольника. Для этого сначала докажем неравенство
Гльдера для интегралов.

   Лемма 4. Для любых двух функций f и g, определённых
и непрерывных на отрезке [a; b], и любого p > 1 справедливо
неравенство
              Z b
                  |f (x)g(x)| dx 6 kf kp · kgkq ,        (9)
                 a
                1      1
где q такое, что p + q = 1.

Страницы