Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 59 стр.

    § 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства                59


    Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если kf kp = 0 или
kgkq = 0, то неравенство (9) справедливо. Предположим, что
kf kp 6= 0 и kgkq 6= 0, и применим неравенство (2) к числам
                          |f (x)|             |g(x)|
                    A=            ,     B=           .
                           kf kp               kgkq
Тогда
               |f (x)g(x)|        1 |f (x)|p 1 |g(x)|q
                              6 ·            + ·             .
                kf kp kgkq        p kf kpp      p kgkqq
Проинтегрируем это неравенство по x от a до b. В результате
получим:              Rb
                         |f (x)g(x)| dx
                      a                     1 1
                                         6 + = 1.
                          kf kp kgkq        p q
    Лемма 4 доказана.
    Теперь, применяя неравенство Гёльдера, как и в примере 2
для сумм, получаем:
Z b                          Z b
                   p
    |f (x) + g(x)| dx 6          |f (x) + g(x)|p−1 |f (x)| dx+
 a                            a
              Z b
            +      |f (x)g(x)|p−1 |g(x)| dx 6 kf + gkp/q  p (kf kp + kgkq )
                a
и, следовательно,
                       kf + gkp 6 kf kp + kgkp
для любого p > 1. Для p = 1 оно очевидно.
   Это неравенство называется неравенством Минковского
для интегралов.
   Таким образом, в линейном пространстве всех функций,
определённых и непрерывных на отрезке [a; b], можно ввести
норму по формуле (8). Это линейное нормированное простран-
ство обозначается CLp [a; b] или Lcp [a; b].
   Как и в случае p = 1 (см. п. 1.2), доказывается, что про-
странство CLp [a; b] является неполным. Пополнение этого про-
странства обозначается Lp [a; b] и называется пространством
функций, суммируемых в p-й степени.