Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 61 стр.

  § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах    61


ограниченным оператором. В этом смысле и функция y = x2 ,
x ∈ R, является ограниченным оператором.
   Определение 2. Последовательность операторов fn , дей-
ствующих из X в Y , называется сходящейся на множестве
D ⊂ X, если D ⊂ Dfn , D ⊂ Df и fn (x) → f (x) при n → ∞ для
любого x ∈ D.
   В этом случае иногда говорят, что fn при n → ∞ сходится
поточечно на D к f .
   Таким образом, fn → f при n → ∞ поточечно на D, если
              lim kfn (x) − f (x)k = 0 ∀ x ∈ D.
              n→∞
Если же
                 lim sup kfn (x) − f (x)k = 0,
                n→∞ x∈D
то говорят, что fn сходится к f равномерно на множестве D.
    Сделаем ещё несколько замечаний относительно линейных
операторов.
    Пусть X и Y — линейные пространства (оба над полем
действительных чисел или оба над полем комплексных чисел).
   Определение 3. Оператор f , действующий из X в Y , на-
зывается линейным, если Df — линейное многообразие, и если
            f (α1 x1 + α2 x2 ) = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 )
для любых x1 ,x2 ∈ Df и любых чисел α1 ,α2 .
   Легко видеть, что у любого линейного оператора множество
значений является линейным многообразием.
   Как и в линейной алгебре, линейные операторы будем обо-
значать в основном буквами A,B и т.д. и писать y = Ax,
y = Bx и т.д.
   Из данного определения видно, что линейный оператор A,
действующий из X в Y , не обязан быть заданным на всём X, но
он всегда задан на линейном многообразии, т.е. на линейном
подпространстве пространства X.