Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 62 стр.

62       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Если ограничить себя только рассмотрением линейных
пространств, то не ограничивая общности, можно считать, что
линейный оператор, действующий из X в Y , определён для лю-
бого x ∈ X.
   Если же X — нормированное пространство, то наиболее
интересным является случай, когда область определения ли-
нейного оператора плотна в X. Однако если этот линейный
оператор ограничен, то, как будет показано ниже, его можно
продолжить по непрерывности на всё пространство X. А так
как изучение неограниченных операторов выходит за рамки
нашего курса, то в дальнейшем будем считать, что любой ли-
нейный оператор, действующий из X в Y , определён на всём
пространстве X.
   Через L(X; Y ) обозначим множество всех ограниченных ли-
нейных операторов, отображающих X в Y .
4.2. Линейные операторы
   Пусть X и Y — линейные нормированные пространства.
Легко видеть, что линейный оператор A непрерывен в любой
точке области определения DA ⊂ X, если он непрерывен в
точке x = 0. Действительно, если x0 ∈ DA и x ∈ DA , то
x − x0 ∈ DA и
                   Ax − Ax0 = A(x − x0 ).
Поэтому если оператор A непрерывен в точке x = 0, то A(x −
−x0 ) → 0 при x → x0 , и, следовательно, Ax → Ax0 при x → x0 ,
x ∈ DA .
   Теорема 1. Если линейный оператор A, действующий из
X в Y , ограничен на единичном шаре, т.е. если существует
постоянная C > 0 такая, что
                 kAk 6 C   ∀x ∈ DA , kxk 6 1,
то он ограничен на DA .
     Действительно, если множество M ⊂ DA ограничено, то
                 ∃ R > 0 : kxk 6 R   ∀ x ∈ M,