Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 64 стр.

64      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Таким образом, для любого линейного оператора A спра-
ведливо равенство
                          kAxk
                kAk = sup      , x ∈ DA .
                      x6=0 kxk

   Следствие 2. Для любого линейного оператора A, дей-
ствующего из X в Y , справедливо неравенство
                 kAxk 6 kAk · kxk    ∀ x ∈ DA .


   Следствие 3. Если линейный оператор A ограничен, то
он непрерывен в любой точке x0 ∈ DA .
   Действительно, так как
                 kAx − Ax0 k 6 kAk · kx − x0 k,
то Ax → Ax0 при x → x0 .
   Для линейного оператора A, у которых DA = X, справед-
ливо следующее, кажущееся неожиданным, утверждение.
   Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор A : X →
→ Y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы он был
непрерывен в точке x = 0.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Уже доказано, что если оператор A
ограничен, то он непрерывен. Обратное утверждение докажем
методом от противного.
   Допустим, что линейный оператор A является непрерыв-
ным в точке x = 0, но не является ограниченным на X. Тогда
для любого n ∈ N существует элемент xn ∈ X такой, что
kxn k 6 1, kAxn k > n, и, следовательно,
                         x 
                             n
                       A         > 1 ∀ n ∈ N.
                            n
С другой стороны, так как
                    xn      1
                         6 → 0 при n → ∞,
                    n       n