Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
при n → ∞, поскольку
kAx
n
− Ax
0
n
k 6 kAk · kx
n
− x
0
n
k → 0
при n → ∞. Следовательно, y = y
0
.
Линейность оператора A очевидным образом следует из ли-
нейности оператора A и свойства линейности предела.
Наконец, очевидно, что kAk 6 kAk. С другой стороны, из
неравенства
kAx
n
k 6 kAk · kx
n
k
при n → ∞ следует, что
kAxk 6 kAk · kxk ∀x ∈ X,
и поэтому kAk 6 kAk.
Теорема 3 доказана.
4.3. Примеры ограниченны х линейных операторов
Как известно, любой линейный оператор, отображающий
R
n
в R
n
, задаётся равенством
y = Ax, x ∈ R
n
, (1)
где A — квадратная матрица порядка n, а x и y —
n-мерные столбцы:
x = (x
1
,x
2
, . . . ,x
n
), y = (y
1
,y
2
, . . . ,y
n
).
Если a
ij
— элементы матрицы A, то матричное равенство (1)
в координатах записывается так:
y
i
=
n
X
j=1
a
ij
x
j
, i = 1,2, . . . ,n. (2)
Так как в R
n
норму можно задавать разными способами, то
одно и то же равенство (1) или (2) может задавать различные
линейные операторы. Рассмотрим несколько примеров таких
операторов.
Пример 1. В линейном пространстве R
n
введём норму по
формуле
kxk
c
= max
j
|x
j
|
66     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

при n → ∞, поскольку
             kAxn − Ax0n k 6 kAk · kxn − x0n k → 0
при n → ∞. Следовательно, y = y 0 .
   Линейность оператора A очевидным образом следует из ли-
нейности оператора A и свойства линейности предела.
   Наконец, очевидно, что kAk 6 kAk. С другой стороны, из
неравенства
                    kAxn k 6 kAk · kxn k
при n → ∞ следует, что
                  kAxk 6 kAk · kxk            ∀ x ∈ X,
и поэтому kAk 6 kAk.
   Теорема 3 доказана.
4.3. Примеры ограниченных линейных операторов
   Как известно, любой линейный оператор, отображающий
Rn в Rn , задаётся равенством
                          y = Ax, x ∈ Rn ,                           (1)
где A — квадратная матрица порядка n, а x и y —
n-мерные столбцы:
           x = (x1 ,x2 , . . . ,xn ),   y = (y1 ,y2 , . . . ,yn ).
Если aij — элементы матрицы A, то матричное равенство (1)
в координатах записывается так:
                     n
                     X
                yi =   aij xj , i = 1,2, . . . ,n.    (2)
                        j=1
   Так как вRn  норму можно задавать разными способами, то
одно и то же равенство (1) или (2) может задавать различные
линейные операторы. Рассмотрим несколько примеров таких
операторов.
   Пример 1. В линейном пространстве Rn введём норму по
формуле
                   kxkc = max |xj |
                                        j

Страницы