Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
и будем рассматривать A как оператор, действующий из l
n
p
в
l
n
q
, где
1
p
+
1
q
= 1. Тогда
kyk
q
=
n
X
j=1
n
X
j=1
a
ij
x
j
q
1/q
.
А так как, согласно неравенству Гёльдера,
n
X
j=1
a
ij
x
j
6
n
X
j=1
|a
ij
|
q
1/q
n
X
j=1
|x
j
|
p
1/p
, (4)
то
kyk
q
6
n
X
i,j=1
|a
ij
|
q
1/q
kxk
p
.
Следовательно, оператор A : l
n
p
→ l
n
q
ограничен, причём
kAk 6
n
X
i,j=1
|a
ij
|
q
1/q
. (5)
Покажем, что в действительности здесь выполняется равен-
ство.
Не ограничивая общности, можно считать, что A 6= 0. То-
гда для некоторого x 6= 0 соотношение (4) превращается в ра-
венство, поэтому, учитывая неравенство (5), получаем
kAk =
n
X
i,j=1
|a
ij
|
q
1/q
.
Пример 3. Пусть оператор A действует из l
n
p
в l
n
p
, p > 1.
Тогда из равенства
kyk
p
=
n
X
i=1
n
X
j=1
a
ij
x
j
p
1/p
68       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

и будем рассматривать A как оператор, действующий из lpn в
        1    1
lqn , где p + q = 1. Тогда
                                                 q 1/q
                              n X
                              X n
                  kykq =                 aij xj          .
                              j=1 j=1

А так как, согласно неравенству Гёльдера,
                                  1/q           1/p
          Xn             n
                         X               Xn
              aij xj 6    |aij |q        |xj |p  ,         (4)
            j=1          j=1                      j=1
то                                         1/q
                              n
                              X
                  kykq 6             |aij |q     kxkp .
                              i,j=1
     Следовательно, оператор A : lpn → lqn ограничен, причём
                                        1/q
                            Xn
                    kAk 6       |aij |q  .                 (5)
                                i,j=1

Покажем, что в действительности здесь выполняется равен-
ство.
   Не ограничивая общности, можно считать, что A 6= 0. То-
гда для некоторого x 6= 0 соотношение (4) превращается в ра-
венство, поэтому, учитывая неравенство (5), получаем
                                       1/q
                             Xn
                   kAk =       |aij |q  .
                                i,j=1

   Пример 3. Пусть оператор A действует из lpn в lpn , p > 1.
Тогда из равенства
                                  p 1/p
                         n X
                         X n
                kykp =      aij xj 
                              i=1 j=1

Страницы