Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

70 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Следовательно, оператор A : m → m ограничен, причём kAk 6
6 γ.
Докажите, что kAk = γ.
Пример 5. Через l
p
, p > 1, обозначим линейное простран-
ство последовательностей с нормой
kxk
p
=
∞
X
j=1
|x
j
|
p
1/p
и покажем, что оператор A : l
p
→ l
q
, заданный равенствами (6),
ограничен, если
β =
n
X
i,j=1
|a
ij
|
q
1/q
< +∞.
Как и в примере 2, получаем:
∞
X
j=1
|a
ij
|x
j
6
∞
X
j=1
|a
ij
|
q
1/q
kxk
p
,
kyk
q
6 βkxk
p
.
Следовательно, оператор A : l
p
→ l
q
ограничен, причём kAk 6
6 β.
Докажите, что kAk = β.
Аналогично доказывается, что если
α =
∞
X
i=1
∞
X
j=1
|a
ij
|
q
p/q
1/p
< +∞,
то оператор A : l
p
→ l
p
, p > 1, заданный равенствами (6),
ограничен, причём
kAk = α.
70       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


Следовательно, оператор A : m → m ограничен, причём kAk 6
6 γ.
   Докажите, что kAk = γ.
   Пример 5. Через lp , p > 1, обозначим линейное простран-
ство последовательностей с нормой
                                      1/p
                            X∞
                   kxkp =      |xj |p 
                                    j=1

и покажем, что оператор A : lp → lq , заданный равенствами (6),
ограничен, если
                                   1/q
                       Xn
                 β=        |aij |q  < +∞.
                            i,j=1

     Как и в примере 2, получаем:
                                         1/q
               X∞              ∞
                               X
                  |aij |xj 6     |aij |q  kxkp ,
                j=1                 j=1

                            kykq 6 βkxkp .
Следовательно, оператор A : lp → lq ограничен, причём kAk 6
6 β.
   Докажите, что kAk = β.
   Аналогично доказывается, что если
                                p/q 1/p
                  X∞   X∞
           α=            |aij |q   < +∞,
                                     
                      i=1    j=1

то оператор A : lp → lp , p > 1, заданный равенствами (6),
ограничен, причём
                          kAk = α.

Страницы