Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Операторы в линейных нормированных пространствах 69
и неравенства (4) следует, что
kyk
p
6
n
X
i=1
n
X
j=1
|a
ij
|
q
p/q
1/p
kxk
p
.
Следовательно, оператор A : l
n
p
→ l
n
p
ограничен, причём
kAk 6
n
X
i=1
n
X
j=1
|a
ij
|
q
p/q
1/p
.
Легко доказывается, что в действительности здесь выполня-
ется равенство.
Аналогично линейным операторам из R
n
в R
n
можно рас-
смотреть линейные операторы, заданные равенствами
y
i
=
∞
X
j=1
a
ij
x
j
, i = 1,2, . . . , (6)
и де йствующие из одного пространства последовательностей в
другое. При некоторых ограничениях на бесконечную матрицу
A с элементами a
ij
эти операторы будут ограниченными.
Пример 4. Через m обозначим пространство ограничен-
ных числовых последовательностей и покажем, что оператор
A : m → m, заданный равенствами (6), ограничен, если
γ = sup
i
∞
X
j=1
|a
ij
| < +∞.
Из (6) следует, что
∀i |y
i
| 6
∞
X
j=1
|a
ij
| ·kxk
m
6 γkxk
m
,
и поэтому
kyk
m
6 γkxk
m
.
  § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах      69


и неравенства (4) следует, что
                                    p/q 1/p
                      n     n
                   X X
            kykp 6           |aij |q   kxkp .
                                           
                     i=1        j=1

   Следовательно, оператор A : lpn → lpn ограничен, причём
                                     p/q 1/p
                      Xn   Xn
             kAk 6            |aij |q   .
                                          
                         i=1      j=1

Легко доказывается, что в действительности здесь выполня-
ется равенство.
   Аналогично линейным операторам из Rn в Rn можно рас-
смотреть линейные операторы, заданные равенствами
                     ∞
                     X
                yi =    aij xj , i = 1,2, . . . ,     (6)
                      j=1
и действующие из одного пространства последовательностей в
другое. При некоторых ограничениях на бесконечную матрицу
A с элементами aij эти операторы будут ограниченными.
    Пример 4. Через m обозначим пространство ограничен-
ных числовых последовательностей и покажем, что оператор
A : m → m, заданный равенствами (6), ограничен, если
                                 ∞
                                 X
                   γ = sup             |aij | < +∞.
                            i    j=1

   Из (6) следует, что
                           ∞
                           X
             ∀ i |yi | 6         |aij | · kxkm 6 γkxkm ,
                           j=1
и поэтому
                         kykm 6 γkxkm .

Страницы