Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Операторы в линейных нормированных пространствах 71
Пример 6. Рассмотрим теперь линейные операторы вида
v(x) =
Z
b
a
K(x,ξ)u(ξ) dξ, (7)
где функция K(x,ξ) непрерывна на квадрате ∆
2
= ∆ × ∆, где
∆ = [a; b].
Такие операторы называются интегральными, а функция
K(x,ξ) — ядром этого оператора. Обычно интегральный опе-
ратор (7) обозначают той же буквой, что и его ядро.
Очевидно, оператор K : C(∆) → C(∆) ограничен, причём
kvk
C
6
Z
b
a
|K(x,ξ)|dξ
C
· kuk
C
.
Оператор K : CL
p
(∆) → CL
q
(∆) тоже ограничен. Именно,
как и в примере 2, доказывается, что
kvk
L
q
6 kKk
L
q
· kuk
L
p
, (8)
где
kKk
q
=
ZZ
∆
2
|K(x,ξ)|
q
dx dξ
1/q
.
Предельным переходом можно доказать, что оператор
K : L
p
(∆) → L
q
(∆) ограничен и для него справедливо нера-
венство (8).
4.4. Пространства линейных ограниченных операторов
Множество L(X; Y ) всех ограниченных линейных операто-
ров, отображающих нормированное пространство X в норми-
рованное пространство Y , с естественными операциями сложе-
ния двух операторов и умножения оператора на число является
линейным пространством, а норма оператора является нормой
в этом линейном пространстве.
Действительно, если A и B — линейные операторы, дей-
ствующие из X в Y , то для любых чисел α и β оператор C =
= αA + βB, определяемый равенством
Cx = αAx + βBx ∀x ∈ X,
  § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах         71

      Пример 6. Рассмотрим теперь линейные операторы вида
                         Z b
                  v(x) =     K(x,ξ)u(ξ) dξ,            (7)
                              a
где функция K(x,ξ) непрерывна на квадрате ∆2 = ∆ × ∆, где
∆ = [a; b].
   Такие операторы называются интегральными, а функция
K(x,ξ) — ядром этого оператора. Обычно интегральный опе-
ратор (7) обозначают той же буквой, что и его ядро.
   Очевидно, оператор K : C(∆) → C(∆) ограничен, причём
                      Z b
               kvkC 6     |K(x,ξ)| dξ · kukC .
                          a                  C
Оператор K : CLp (∆) → CLq (∆) тоже ограничен. Именно,
как и в примере 2, доказывается, что
                    kvkLq 6 kKkLq · kukLp ,                     (8)
где
                        ZZ                          1/q
               kKkq =              |K(x,ξ)|q dx dξ          .
                              ∆2
   Предельным переходом можно доказать, что оператор
K : Lp (∆) → Lq (∆) ограничен и для него справедливо нера-
венство (8).
4.4. Пространства линейных ограниченных операторов
    Множество L(X; Y ) всех ограниченных линейных операто-
ров, отображающих нормированное пространство X в норми-
рованное пространство Y , с естественными операциями сложе-
ния двух операторов и умножения оператора на число является
линейным пространством, а норма оператора является нормой
в этом линейном пространстве.
    Действительно, если A и B — линейные операторы, дей-
ствующие из X в Y , то для любых чисел α и β оператор C =
= αA + βB, определяемый равенством
                  Cx = αAx + βBx ∀ x ∈ X,

Страницы