Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

72 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
тоже линеен, так как
C(λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
) = α(λ
1
Ax
1
+ λ
2
Ax
2
) + β(λ
1
Bx
1
+ λ
2
Bx
2
) =
= λ
1
(αAx
1
+ βBx
1
) + λ
2
(αAx
2
+ βBx
2
) =
= λ
1
Cx
1
+ λ
2
Cx
2
.
Далее, если операторы A и B ограничены, то операторы A + B
и αA тоже ограничены, так как
kA + Bk = sup
kxk61
kAx + Bxk 6 sup
kxk61
(kAxk + kBxk) 6
6 kAk + kBk,
kαAk = sup
kxk61
kαAxk = |α| sup
kxk61
kAxk = |α| · kAk.
Отсюда, в частности, следует, что
kA + Bk 6 kAk + kBk, kαAk = |α| · kAk.
Кроме того, kAk > 0 ∀A ∈ L(X; Y ), причём, если kAk = 0, то
Ax = 0 ∀x ∈ X. Следовательно, норма оператора удовлетво-
ряет всем аксиомам нормы.
Таким образом, L(X; Y ) — линейное нормированное про-
странство.
Пусть A
n
∈ L(X; Y ) и A ∈ L(X; Y ). Из очевидного равен-
ства
sup
kxk61
kA
n
x − Axk = kA
n
− Ak
следует, что сходимость последовательности линейных опера-
торов по норме пространства L(X; Y ) равносильна равномер-
ной сходимости этой последовательности на шаре kxk 6 1. По-
этому если kA
n
− Ak → 0 при n → ∞, то говорят, что после-
довательность операторов A
n
, n ∈ N, сходится равномерно
к оператору A.
Теорема 1. Если пространство X нормированное, а про-
странство Y банахово, то пространство L(X; Y ) тоже бана-
хово.
72       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

тоже линеен, так как
 C(λ1 x1 + λ2 x2 ) = α(λ1 Ax1 + λ2 Ax2 ) + β(λ1 Bx1 + λ2 Bx2 ) =
                 = λ1 (αAx1 + βBx1 ) + λ2 (αAx2 + βBx2 ) =
                 = λ1 Cx1 + λ2 Cx2 .
Далее, если операторы A и B ограничены, то операторы A + B
и αA тоже ограничены, так как
     kA + Bk = sup kAx + Bxk 6 sup (kAxk + kBxk) 6
               kxk61               kxk61
                                 6 kAk + kBk,
            kαAk = sup kαAxk = |α| sup kAxk = |α| · kAk.
                   kxk61               kxk61

     Отсюда, в частности, следует, что
           kA + Bk 6 kAk + kBk, kαAk = |α| · kAk.
Кроме того, kAk > 0 ∀A ∈ L(X; Y ), причём, если kAk = 0, то
Ax = 0 ∀ x ∈ X. Следовательно, норма оператора удовлетво-
ряет всем аксиомам нормы.
   Таким образом, L(X; Y ) — линейное нормированное про-
странство.
   Пусть An ∈ L(X; Y ) и A ∈ L(X; Y ). Из очевидного равен-
ства
                sup kAn x − Axk = kAn − Ak
                 kxk61
следует, что сходимость последовательности линейных опера-
торов по норме пространства L(X; Y ) равносильна равномер-
ной сходимости этой последовательности на шаре kxk 6 1. По-
этому если kAn − Ak → 0 при n → ∞, то говорят, что после-
довательность операторов An , n ∈ N, сходится равномерно
к оператору A.
   Теорема 1. Если пространство X нормированное, а про-
странство Y банахово, то пространство L(X; Y ) тоже бана-
хово.

Страницы