Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Операторы в линейных нормированных пространствах 73
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность опера-
торов A
n
∈ L(X; Y ), n ∈ N, фундаментальная. Из неравенства
kA
n+p
x −A
n
xk 6 kA
n+p
− A
n
k · kxk
следует, что при любом x ∈ X последовательность {A
n
x} тоже
фундаментальная. А так как пространство Y полное, то эта
последовательность имеет предел. Положим
y = lim
n→∞
A
n
x.
Эта формула определяет линейный оператор y = Ax. Дока-
жем, что он ограничен.
Из неравенства |kA
n+p
− kA
n
k| 6 kA
n+p
−A
n
k следует, что
числовая последовательность {kA
n
k} фундаментальная и, как
следствие, ограниченная. Пусть
kA
n
k 6 C ∀n.
Тогда
kA
n
xk 6 kA
n
k · kxk 6 Ckxk ∀n ∈ N.
Отсюда в пределе при n → ∞ получаем неравенство
kAxk 6 Ckxk,
справедливое для любого x ∈ X.
Теорема 1 доказана.
Наряду с равномерной сходимостью в пространстве
L(X; Y ) можно рассматривать и поточечную сходимость.
Очевидно, если A
n
→ A при n → ∞ равномерно, то A
n
→
→ A при n → ∞ поточечно. Следующий пример показывает,
что обратное утверждение является неверным.
Пример. В пространстве l
2
последовательностей x =
= {x
1
,x
2
,, . . . ,x
n
, . . .} с нормой
kxk =
∞
X
k=1
|x
k
|
2
!
1/2
   § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах      73

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность опера-
торов An ∈ L(X; Y ), n ∈ N, фундаментальная. Из неравенства
              kAn+p x − An xk 6 kAn+p − An k · kxk
следует, что при любом x ∈ X последовательность {An x} тоже
фундаментальная. А так как пространство Y полное, то эта
последовательность имеет предел. Положим
                         y = lim An x.
                             n→∞
Эта формула определяет линейный оператор y = Ax. Дока-
жем, что он ограничен.
   Из неравенства |kAn+p − kAn k| 6 kAn+p − An k следует, что
числовая последовательность {kAn k} фундаментальная и, как
следствие, ограниченная. Пусть
                        kAn k 6 C   ∀ n.
Тогда
           kAn xk 6 kAn k · kxk 6 Ckxk ∀ n ∈ N.
Отсюда в пределе при n → ∞ получаем неравенство
                         kAxk 6 Ckxk,
справедливое для любого x ∈ X.
   Теорема 1 доказана.
   Наряду с равномерной сходимостью в пространстве
L(X; Y ) можно рассматривать и поточечную сходимость.
   Очевидно, если An → A при n → ∞ равномерно, то An →
→ A при n → ∞ поточечно. Следующий пример показывает,
что обратное утверждение является неверным.
   Пример.              В пространстве l2 последовательностей x =
= {x1 ,x2 ,, . . . ,xn , . . .} с нормой
                                        ∞
                                                 !1/2
                                       X
                                kxk =     |xk |2
                              k=1

Страницы