Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 75 стр.

   § 4. Операторы в линейных нормированных пространствах    75

определён в некоторой окрестности точки h = 0, кроме самой
этой точки. Доопределим его, положив α(0) = 0. Тогда усло-
вие (1) можно записать в виде следующего равенства:
               f (x + h) = f (x) + Ah + α(h)khk,
где α(h) → 0 при h → 0.
   Как и для числовых функций, в определении дифференци-
руемости операторов удобно использовать понятие “бесконечно
малый оператор” и символ “o-малое”.
   Определение 2. Оператор β, действующий из X в Y , на-
зывается бесконечно малым при x → x0 , x0 ∈ Dβ , если
                        lim kβ(x)k = 0.
                       x→x0

   В этом случае будем писать
                 β(x) = o(1) при x → x0 .

   Если β(x) = ε(x)kx − x0 k, где ε(x) = o(1) при x → x0 , то,
как обычно, будем писать
               β(x) = o(x − x0 ) при x → x0 .
   Используя эти понятия, определение дифференцируемости
оператора можно сформулировать следующим образом.
   Определение 10 . Оператор f называется дифференциру-
емым в точке x ∈ Df , если существует линейный ограничен-
ный оператор A : X → Y такой, что
                 f (x + h) − f (x) − Ah = o(h)             (2)
при h → 0.
   Асимптотическое равенство (2), как и для числовых функ-
ций, записывают ещё и так:
                 f (x + h) = f (x) + Ah + o(h)
при h → 0.