Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 77 стр.

        § 5. Пространства со скалярным произведением      77

    Очевидно, что если в точке x оператор f дифференцируем
(по Фреше), то он дифференцируем по любому направлению h,
причём
                      Dh f (x) = Df (x)h.
    Действительно, если оператор f дифференцируем в точке
x, то
             f (x + th) = f (x) + tDf (x)h + o(th)
при t → +0.

 § 5. Пространства со скалярным произведением
5.1. Евклидовы пространства
   Понятие скалярного произведения векторов и элементов ли-
нейного пространства вводится в аналитической геометрии и
соответственно в линейной алгебре. Напомним, что в линейной
алгебре, как правило, рассматриваются лишь конечномерные
пространства. Здесь введём понятие скалярного произведения
для элементов произвольного линейного пространства.
    Определение 1. Пусть E — линейное пространство над
полем R действительных чисел. Функция ( , ) : E × E → R,
которая каждой упорядоченной паре элементов x,y из E ставит
в соответствие некоторое действительное число, обозначаемое
(x,y), и которая удовлетворяет следующим условиям:
1) (x,x) > 0 ∀ x ∈ E;                                    (1)
2) (αx,y) = α(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ α ∈ R;                   (2)
3) (x + y,z) = (x,z) + (y,z) ∀ x,y,z ∈ E;                (3)
4) (x,y) = (y,x) ∀ x,y ∈ E,                              (4)
называется почти скалярным произведением элементов ли-
нейного пространства E.
    Из свойств (2) и (4) следует, что
            (x,βy) = β(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ β ∈ R,
а из свойства (3) при x = y = 0 следует, что
                     (0,z) = 0   ∀ z ∈ E.