Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 79 стр.

        § 5. Пространства со скалярным произведением                   79

   Определение 2. Пусть E — линейное пространство над
полем R действительных чисел. Функция ( , ) : E × E → R на-
зывается скалярным произведением элементов пространства
E, если она является почти скалярным произведением и, кроме
того, удовлетворяет условию:
                  если    (x,x) = 0, то x = 0.                         (8)

    Само число (x,y) называют скалярным произведением эле-
ментов (векторов) x и y, а элементы x и y — его множите-
лями или сомножителями, соответственно первым и вторым.
    Свойство, выражаемое условиями (1) и (8), называется
положительной определнностью скалярного произведения,
свойство (4) — коммутативностью, а свойство, выражаемое
условиями (2) и (3), — линейностью (по первому сомножи-
телю).
    Из коммутативности следует, что скалярное произведение
обладает свойством линейности и по второму сомножителю.
    Из доказанной теоремы следует, что любое линейное про-
странство со скалярным произведением является нормиро-
ванным пространством с нормой, определяемой равенством
(5).
    Норму (5) будем называть нормой, порожднной заданным
скалярным произведением.
    Очевидно, скалярное произведение является непрерывной
функцией относительно нормы, порождённой этим скалярным
произведением.
    Действительно, если xn → x и yn → y при n → ∞, то
   |(xn ,yn ) − (x,y)| 6 |(xn ,yn ) − (x,yn )| + |(x,yn ) − (x,y)| 6
                      6 kxn − xk · kyn k + kxk · kyn − yk → 0
при n → ∞, т.е. lim (xn ,yn ) = (x,y).
                  n→∞
   Если, как и в линейных пространствах с полунормой, эле-
менты x,y из E, для которых kx − yk = 0, считать равными,