Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 81 стр.

        § 5. Пространства со скалярным произведением      81

   Пример 2. Линейное пространство функций, определён-
ных и непрерывных на отрезке ∆ = [a; b], в котором скалярное
произведение функций f (x) и g(x) введено по формуле
                          Z
                  (f,g) =     f (x)g(x) dx,
                            ∆
очевидно, является евклидовым.
    Это пространство обозначается CL2 (∆). Ранее было пока-
зано, что оно неполное.
    Аналогично, линейное пространство RL2 (∆) функций,
определённых и интегрируемых на отрезке ∆ = [a; b], в ко-
тором скалярное произведение введено по формуле (8), тоже
будет евклидовым. Следует заметить, что здесь элементами
являются не отдельные функции, а классы функций. Функции
f (x) и g(x) попадают в один класс, если
                    Z
                      |f (x) − g(x)|2 dx = 0.
                    ∆

5.2. Унитарные (эрмитовы) пространства
   Пусть E — линейное пространство над полем C комплекс-
ных чисел.
   Определение 1. Функция ( , ) : E × E → C называется
скалярным произведением элементов пространства E, если
она удовлетворяет условиям:
1) (x,x) > 0 ∀ x ∈ E, причём если (x,x) = 0, то x = 0;
2) (αx,y) = α(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ α ∈ C;
3) (x + y,z) = (x,z) + (y,z) ∀ x,y,z ∈ E;
4) (x,y) = (y,x) ∀ x,y ∈ E,
где черта означает комплексное сопряжение.
   Из свойств 2) и 4) следует, что
            (x,βy) = β(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ β ∈ C.
Действительно,
             (x,βy) = (βy,x) = β (y,x) = β(x,y).