Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 82 стр.

82         Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

      Легко видеть, что
                       (z,x + y) = (z,x) + (z,y).

   Теорема. В линейном пространстве E со скалярным про-
изведением функция
                       p
                  kxk = (x,x), x ∈ E,               (5)
является нормой.
   Очевидно, достаточно доказать лишь неравенство тре-
угольника, а оно, как и в п. 5.1, следует из неравенства Коши–
Буняковского.
   Для доказательства неравенства Коши–Буняковского заме-
тим, что
      0 6 (αx − y,αx − y) = |α|2 kxk2 − α(x,y) − α(y,x) + kyk2
для любого α ∈ C. Поэтому если kxk = 0, то (x,y) = 0, и,
следовательно, (x,y) = kxk · kyk для любого y ∈ E. Если же
                             (y,x)
kxk > 0, то положив α =            , получим неравенство
                             kxk2
       |(x,y)|2 (y,x)         (x,y)          2     |(x,y)|2
     06        −      (x,y) −       (y,x)+kyk  = −          +kyk2.
         kxk2    kxk2         kxk2                   kxk2
      Таким образом,
                    |(x,y)| 6 kxk · kyk   ∀ x,y ∈ E.
   Из доказанной теоремы следует, что любое линейное про-
странство со скалярным произведением является нормирован-
ным пространством с нормой, определяемой равенством (5).
   Определение 2. Линейное пространство над полем ком-
плексных чисел, для элементов которого определено скалярное
произведение, называется унитарным (эрмитовым или ком-
плексно евклидовым) пространством.
   Полное унитарное пространство называется гильберто-
вым.