Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

84 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Очевидно, любая ортонормированная система является ли-
нейно независимой. Примеры ортонормированных систем
были рассмотрены в главе 14.
Пусть в евклидовом пространстве E задана линейно неза-
висимая счётная система элементов x
n
, n ∈ N. Покажем, что
в E существует счётная ортогональная система y
n
, y ∈ N, та-
кая, что для любого n элемент y
n
есть линейная комбинация
элементов x
1
, . . . ,x
n
.
Положим y
1
= x
1
, y
2
= α
1
2
y
1
− x
2
и найдём α
1
2
из условия
(y
2
,y
1
) = 0. Тогда
α
1
2
ky
1
k
2
= (x
2
,y
1
).
Так как система {x
n
} линейно независимая, то ky
1
k 6= 0, и
поэтому
α
1
2
=
(x
2
,y
1
)
ky
1
k
2
.
Далее, y
3
= α
1
3
y
1
+ α
2
3
y
2
− x
3
, где α
1
3
и α
2
3
находим из условий
(y
3
,y
1
) = (y
3
,y
2
) = 0. Очевидно,
α
1
3
=
(x
3
,y
1
)
ky
1
k
2
, α
2
3
=
(x
3
,y
2
)
ky
2
k
2
.
Пусть уже построена ортогональная система элементов
y
k
6= 0, k = 1,2, . . . ,n, таких, что каждое y
k
есть линейная
комбинация элементов x
1
, . . . ,x
k
. Положим y
n+1
= α
1
n+1
y
1
+
+ . . . + α
n
n+1
y
n
− x
n+1
и найдём α
k
n+1
из условий (y
n+1
,y
k
) = 0,
k = 1, . . . ,n. Тогда
α
k
n+1
=
(x
n+1
,y
k
)
ky
k
k
2
, k = 1, . . . ,n.
Согласно методу математической индукции, искомая орто-
гональная система {y
n
} построена. Метод, с помощью кото-
рого она построена, называется методом или процессом ор-
тогонализации.
84      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

   Очевидно, любая ортонормированная система является ли-
нейно независимой. Примеры ортонормированных систем
были рассмотрены в главе 14.
   Пусть в евклидовом пространстве E задана линейно неза-
висимая счётная система элементов xn , n ∈ N. Покажем, что
в E существует счётная ортогональная система yn , y ∈ N, та-
кая, что для любого n элемент yn есть линейная комбинация
элементов x1 , . . . ,xn .
     Положим y1 = x1 , y2 = α21 y1 − x2 и найдём α21 из условия
(y2 ,y1 ) = 0. Тогда
                            α21 ky1 k2 = (x2 ,y1 ).
Так как система {xn } линейно независимая, то ky1 k =        6 0, и
поэтому
                                      (x2 ,y1 )
                               α21 =            .
                                       ky1 k2
Далее, y3 = α31 y1 + α32 y2 − x3 , где α31 и α32 находим из условий
(y3 ,y1 ) = (y3 ,y2 ) = 0. Очевидно,

                        (x3 ,y1 )                 (x3 ,y2 )
                α31 =             ,       α32 =             .
                         ky1 k2                    ky2 k2

    Пусть уже построена ортогональная система элементов
yk 6= 0, k = 1,2, . . . ,n, таких, что каждое yk есть линейная
комбинация элементов x1 , . . . ,xk . Положим yn+1 = αn+11   y1 +
            n                        k
+ . . . + αn+1 yn − xn+1 и найдём αn+1 из условий (yn+1 ,yk ) = 0,
k = 1, . . . ,n. Тогда

                 k        (xn+1 ,yk )
                αn+1 =                ,     k = 1, . . . ,n.
                            kyk k2

   Согласно методу математической индукции, искомая орто-
гональная система {yn } построена. Метод, с помощью кото-
рого она построена, называется методом или процессом ор-
тогонализации.

Страницы