Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 85 стр.

        § 5. Пространства со скалярным произведением        85

5.3. Гильбертовы пространства
   Как и в теории линейных нормированных пространств, в
теории пространств со скалярным произведением особую роль
играют полные пространства.
   Определение 1. Пространство со скалярным произведе-
нием, которое является полным относительно нормы, поро-
ждённой этим скалярным произведением, называется гильбер-
товым пространством.
   Гильбертово пространство может быть как действитель-
ным, так и комплексным. Любое конечномерное пространство
над полем действительных или комплексных чисел, в котором
введено скалярное произведение, является полным. Обычно
такие пространства называют евклидовыми, а гильбертовыми
называют полные бесконечномерные евклидовы пространства.
В общем случае их обозначают буквой H с разными индексами.
    Определение 2. Два евклидовых пространства E1 и
E2 называются изоморфными, если существует изоморфизм
f : E1 → E2 линейных пространств E1 и E2 такой, что
              (f (x),f (y))2 = (x,y)1   ∀ x,y ∈ E1 ,
где ( , )1 и ( , )2 — скалярные произведения в E1 и соответ-
ственно в E2 .
   Определение 3. Гильбертово пространство H называ-
ется пополнением евклидова пространства E, если в H суще-
ствует подпространство E 0 , которое изоморфно пространству
E и плотно в пространстве H.

   Теорема. Любое евклидово пространство имеет пополне-
ние.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое евклидово пространство E
является нормированным пространством. Ранее было пока-
зано, что любое нормированное пространство E имеет попол-