Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 86 стр.

86        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства


нение, и этим пополнением является пространство E ∗ , эле-
ментами которого являются классы эквивалентных фундамен-
тальных последовательностей элементов из E.
    Через E 0 обозначим множество классов фундаментальных
последовательностей, среди которых есть стационарная после-
довательность. Тогда каждому x ∈ E ставится в соответ-
ствие класс x0 ∈ E 0 такой, что он содержит последователь-
ность x,x,x, . . ., причём, по определению, kx0 k∗ = kxk. Было
доказано, что E 0 плотно в E ∗ , т.е. что для любого x∗ ∈ E ∗
существует последовательность элементов x0n ∈ E 0 таких, что
x0n → x∗ при n → ∞.
   Для любой пары элементов x∗ и y ∗ из E ∗ скалярное произ-
ведение введём равенством

                        (x∗ ,y ∗ )∗ = lim (xn ,yn ),                  (1)
                                     n→∞

где {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ .
     Этот предел существует, так как

     |(xm ,ym ) − (xn ,yn )| 6 kxm − xn k · kym k + kxn k|ym − yn k

для любых m и n, поэтому числовая последовательность
(xn ,yn ), n ∈ N, фундаментальная и, следовательно, имеет пре-
дел.
   Легко проверить, что предел (1) не зависит от выбора по-
следовательностей {xn } ∈ x∗ и {yn } ∈ y ∗ и что функция (x∗ ,y ∗ )∗
на E ∗ × E ∗ обладает всеми свойствами скалярного произведе-
ния.
    Важными примерами гильбертовых пространств является
пространство l2 числовых последовательностей и простран-
ство L2 (∆), где ∆ — некоторый промежуток. Напомним, что
L2 (∆) — это пополнение евклидова пространства CL2 (∆).