Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

88 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
и поэтому
n
X
k=1
|a
k
|
2
6 kxk
2
для любого n ∈ N. Следовательно, ряд с неотрицательными
членами |a
k
|
2
сходится, и выполняется неравенство (2).
Неравенство (2) называется неравенством Бесселя.
Из равенства (3), справедливого для любого n ∈ N, следует,
что ряд Фурье элемента x ∈ E сходится к x, т.е.
x =
∞
X
k=1
a
k
e
k
,
тогда и только тогда, когда выполняется равенство
∞
X
k=1
|a
k
|
2
= kxk
2
. (4)
Это равенство называется равенством Парсеваля–
Стеклова.
Определение 2. Ортонормированная система (1) элемен-
тов пространства E называется замкнутой в смысле Сте-
клова, если для любого x ∈ E выполняется равенство (4).
Таким образом, для того чтобы любой элемент евклидова
пространства разлагался в ряд Фурье по ортонормирован-
ной системе, необходимо и достаточно, чтобы эта система
была замкнутой в смысле Стеклова.
Докажем теперь так называемое минимальное свойство ко-
эффициентов Фурье. А именно, докажем, что
inf
α
1
,...,α
n
x −
n
X
k=1
α
k
e
k
=
x −
n
X
k=1
a
k
e
k
, (5)
где a
k
— коэффициенты Фурье элемента x ⊂ E по ортонорми-
рованной системе (1), а точная нижняя грань берётся по всем
линейным комбинациям элементов e
1
,e
2
, . . . ,e
n
системы (1).
88      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

и поэтому
                              n
                              X
                                    |ak |2 6 kxk2
                              k=1
для любого n ∈ N. Следовательно, ряд с неотрицательными
членами |ak |2 сходится, и выполняется неравенство (2).
   Неравенство (2) называется неравенством Бесселя.
   Из равенства (3), справедливого для любого n ∈ N, следует,
что ряд Фурье элемента x ∈ E сходится к x, т.е.
                                      ∞
                                      X
                               x=           ak ek ,
                                      k=1

тогда и только тогда, когда выполняется равенство
                              ∞
                              X
                                    |ak |2 = kxk2 .                          (4)
                              k=1

  Это равенство           называется             равенством           Парсеваля–
Стеклова.
   Определение 2. Ортонормированная система (1) элемен-
тов пространства E называется замкнутой в смысле Сте-
клова, если для любого x ∈ E выполняется равенство (4).
   Таким образом, для того чтобы любой элемент евклидова
пространства разлагался в ряд Фурье по ортонормирован-
ной системе, необходимо и достаточно, чтобы эта система
была замкнутой в смысле Стеклова.
   Докажем теперь так называемое минимальное свойство ко-
эффициентов Фурье. А именно, докажем, что
                              n
                              X                       n
                                                      X
              inf        x−         αk ek = x −             ak ek ,          (5)
            α1 ,...,αn
                              k=1                     k=1

где ak — коэффициенты Фурье элемента x ⊂ E по ортонорми-
рованной системе (1), а точная нижняя грань берётся по всем
линейным комбинациям элементов e1 ,e2 , . . . ,en системы (1).

Страницы