Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 89
Легко вычисляется, что
x −
n
X
k=1
α
k
e
k
2
= kxk
2
−
n
X
k=1
|a
k
|
2
+
n
X
k=1
|a
k
− α
k
|
2
.
Отсюда следует, что минимум этого выражения достигается,
когда α
k
= a
k
, что и доказывает свойство (5).
Напомним, что система элементов нормированного про-
странства X называется полной в X, если её линейная обо-
лочка плотна в X.
Теорема 2. Если ортонормированная система (1) полна в
евклидовом пространстве E, то любой элемент x ∈ E разлага-
ется в ряд Фурье по этой системе.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как система (1) полна в норми-
рованном пространстве E, то для любого x ∈ E выполняется
условие:
∀ε > 0 ∃α
1
, . . . ,α
N
ε
:
x −
N
ε
X
k=1
α
k
e
k
< ε.
Отсюда и из минимального свойства коэффициентов Фурье
a
k
= (x,e
k
) следует, что
x −
N
ε
X
k=1
α
k
e
k
< ε
и, в силу равенства (3),
x −
n
X
k=1
α
k
e
k
< ε ∀n > N
ε
.
Таким образом, x −
∞
P
k=1
α
k
e
k
.
Теорема 2 доказана.
До сих пор евклидово пространство E могло быть непол-
ным. Докажем несколько утверждений, когда E полное, т.е.
когда E является гильбертовым пространством H.
        § 5. Пространства со скалярным произведением                                89

   Легко вычисляется, что
             n             2                n                 n
             X                              X                 X
        x−         αk ek       = kxk2 −            |ak |2 +         |ak − αk |2 .
             k=1                             k=1              k=1
Отсюда следует, что минимум этого выражения достигается,
когда αk = ak , что и доказывает свойство (5).
   Напомним, что система элементов нормированного про-
странства X называется полной в X, если её линейная обо-
лочка плотна в X.
   Теорема 2. Если ортонормированная система (1) полна в
евклидовом пространстве E, то любой элемент x ∈ E разлага-
ется в ряд Фурье по этой системе.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как система (1) полна в норми-
рованном пространстве E, то для любого x ∈ E выполняется
условие:
                                                        Nε
                                                        X
         ∀ ε > 0 ∃ α1 , . . . ,αNε :               x−         αk ek < ε.
                                                        k=1
Отсюда и из минимального свойства коэффициентов Фурье
ak = (x,ek ) следует, что
                                      Nε
                                      X
                               x−           αk ek < ε
                                      k=1
и, в силу равенства (3),
                           n
                           X
                     x−          αk ek < ε ∀ n > Nε .
                           k=1
                             P∞
   Таким образом, x −                 αk ek .
                                k=1
   Теорема 2 доказана.
   До сих пор евклидово пространство E могло быть непол-
ным. Докажем несколько утверждений, когда E полное, т.е.
когда E является гильбертовым пространством H.

Страницы