Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 87
5.4. Ряды Фурье
Пусть в евклидовом пространстве E задана некоторая ор-
тонормированная система
e
1
,e
2
, . . . ,e
n
, . . . (1)
В общем случае эта система может быть как конечной, так и
бесконечной.
Конечномерные евклидовы пространства E изучаются в
линейной алгебре. Мы же будем рассматривать бесконечно-
мерные пространства. В любом таком пространстве E суще-
ствует счётная линейно независимая система, из которой про-
цессом ортогонализации можно получить счётную ортонорми-
рованную систему.
Определение 1. Пусть в евклидовом пространстве E за-
дана ортонормированная система (1). Тогда для любого x ∈ E
числа
a
k
= (x,e
k
), k ∈ N,
называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонор-
мированной системе (1), а ряд
∞
X
k=1
a
k
e
k
называется рядом Фурье элемента x по этой системе.
Теорема 1. Если a
k
, k ∈ N, — коэффициенты Фурье эле-
мента x ∈ E по ортонормированной системе, то ряд
∞
P
k=1
|a
k
|
2
сходится и
∞
X
k=1
|a
k
|
2
6 kxk
2
. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что
x −
n
X
k=1
a
k
e
k
2
= kxk
2
−
n
X
k=1
|a
k
|
2
, (3)
        § 5. Пространства со скалярным произведением                           87

5.4. Ряды Фурье
   Пусть в евклидовом пространстве E задана некоторая ор-
тонормированная система
                           e1 ,e2 , . . . ,en , . . .                          (1)
В общем случае эта система может быть как конечной, так и
бесконечной.
   Конечномерные евклидовы пространства E изучаются в
линейной алгебре. Мы же будем рассматривать бесконечно-
мерные пространства. В любом таком пространстве E суще-
ствует счётная линейно независимая система, из которой про-
цессом ортогонализации можно получить счётную ортонорми-
рованную систему.
   Определение 1. Пусть в евклидовом пространстве E за-
дана ортонормированная система (1). Тогда для любого x ∈ E
числа
                   ak = (x,ek ), k ∈ N,
называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонор-
мированной системе (1), а ряд
                          ∞
                          X
                             ak ek
                                   k=1
называется рядом Фурье элемента x по этой системе.
   Теорема 1. Если ak , k ∈ N, — коэффициенты Фурье эле-
                                                 ∞
                                                   |ak |2
                                                 P
мента x ∈ E по ортонормированной системе, то ряд
                                                                         k=1
сходится и
                           ∞
                           X
                                 |ak |2 6 kxk2 .                               (2)
                           k=1
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что
                     n              2                   n
                     X                                  X
                                                2
                x−         ak ek        = kxk −               |ak |2 ,         (3)
                     k=1                                k=1

Страницы