Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Теорема 3. Если ряд
∞
P
k=1
|a
k
|
2
сходится, то для любой ор-
тонормированной системы (1) в гильбертовом пространстве H
ряд
∞
P
k=1
a
k
e
k
сходится и является рядом Фурье некоторого эле-
мента x ∈ H.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства
n+p
X
k=n+1
a
k
e
k
2
=
n+p
X
k=n+1
|a
k
|
2
,
справедливого для любых n и p, следует, что ряд
∞
P
k=1
a
k
e
k
удо-
влетворяет условию Коши. В силу полноты пространства H
этот ряд сходится к некоторому элементу x ∈ H:
x =
∞
X
k=1
a
k
e
k
.
Из непрерывности скалярного произведения следует, что
a
k
= (x,e
k
). Действительно,
(x,e
k
) = lim
n→∞
n
X
j=1
a
j
e
j
,e
k
= a
k
.
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. В гильбертовом пространстве H ортонорми-
рованная система (1) полна тогда и только тогда, когда в H
только ноль ортогонален всем элементам этой системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если система (1) полна
в H, то для любого x ∈ H выполняется равенство Парсеваля–
Стеклова. Поэтому если (x,e
k
) = 0 ∀k, то x = 0.
Пусть те перь система (1) такая, что в H только ноль ор-
тогонален всем e
k
. Выберем некоторое x ∈ H и покажем, что
90         Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

                               ∞
                                     |ak |2 сходится, то для любой ор-
                               P
     Теорема 3. Если ряд
                               k=1
тонормированной системы (1) в гильбертовом пространстве H
    ∞
    P
ряд   ak ek сходится и является рядом Фурье некоторого эле-
     k=1
мента x ∈ H.
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства
                       n+p           2        n+p
                       X                      X
                             ak ek       =           |ak |2 ,
                     k=n+1                   k=n+1
                                                                ∞
                                                                P
справедливого для любых n и p, следует, что ряд                       ak ek удо-
                                                                k=1
влетворяет условию Коши. В силу полноты пространства H
этот ряд сходится к некоторому элементу x ∈ H:
                                     ∞
                                     X
                              x=           ak ek .
                                     k=1

   Из непрерывности скалярного произведения следует, что
ak = (x,ek ). Действительно,
                                           
                               Xn
                (x,ek ) = lim    aj ej ,ek  = ak .
                             n→∞
                                     j=1

     Теорема 3 доказана.
   Теорема 4. В гильбертовом пространстве H ортонорми-
рованная система (1) полна тогда и только тогда, когда в H
только ноль ортогонален всем элементам этой системы.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если система (1) полна
в H, то для любого x ∈ H выполняется равенство Парсеваля–
Стеклова. Поэтому если (x,ek ) = 0 ∀ k, то x = 0.
   Пусть теперь система (1) такая, что в H только ноль ор-
тогонален всем ek . Выберем некоторое x ∈ H и покажем, что

Страницы