Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 91
если ряд
∞
X
k=1
a
k
e
k
(6)
является рядом Фурье элемента x, то он сходится к x.
Из неравенства Бесселя следует, что ряд
P
∞
k=1
|a
k
|
2
схо-
дится, и поэтому, согласно теореме 3, ряд (6) сходится к не-
которому элементу x
0
, для которого ряд (6) является рядом
Фурье. Следовательно, (x − x
0
,e
k
) = 0 ∀k, но тогда x − x
0
=
= 0.
Теорема 4 доказана.
З а м е ч а н и е. В теореме 4 полнота системы (1) в про-
странстве H понимается как полнота этой системы в норми-
рованном пространстве. Во многих учебниках для ортонорми-
рованных систем полнота определяется иначе. Именно, орто-
нормированная система называется полной в евклидовом про-
странстве E, если в E только ноль ортогонален всем элементам
этой системы. Те орема 4 показывает, что оба понятия полноты
ортонормированной системы в гильбертовом пространстве со-
впадают.
5.5. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых
пространств
Напомним, что нормированное пространство X называется
сепарабельным, если в X существует полная система из счёт-
ного числа элементов. Вообще говоря, пространство X может
быть как конечномерным, так и бесконечномерным. Обычно
под сепарабельными понимают бесконечномерные простран-
ства.
Последовательность {e
k
} элементов нормированного про-
странства X называется базисом в X, если для любого x ∈ X
существует единственная последовательность чисел λ
k
, k ∈ N,
таких, что
x =
∞
X
k=1
λ
k
e
k
.
        § 5. Пространства со скалярным произведением         91

если ряд
                            ∞
                            X
                                  ak ek                      (6)
                            k=1
является рядом Фурье элемента x, то он сходится P∞к x. 2
   Из неравенства Бесселя следует, что ряд        k=1 |ak | схо-
дится, и поэтому, согласно теореме 3, ряд (6) сходится к не-
которому элементу x0 , для которого ряд (6) является рядом
Фурье. Следовательно, (x − x0 ,ek ) = 0 ∀ k, но тогда x − x0 =
= 0.
   Теорема 4 доказана.
   З а м е ч а н и е. В теореме 4 полнота системы (1) в про-
странстве H понимается как полнота этой системы в норми-
рованном пространстве. Во многих учебниках для ортонорми-
рованных систем полнота определяется иначе. Именно, орто-
нормированная система называется полной в евклидовом про-
странстве E, если в E только ноль ортогонален всем элементам
этой системы. Теорема 4 показывает, что оба понятия полноты
ортонормированной системы в гильбертовом пространстве со-
впадают.
5.5. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых
     пространств
   Напомним, что нормированное пространство X называется
сепарабельным, если в X существует полная система из счёт-
ного числа элементов. Вообще говоря, пространство X может
быть как конечномерным, так и бесконечномерным. Обычно
под сепарабельными понимают бесконечномерные простран-
ства.
   Последовательность {ek } элементов нормированного про-
странства X называется базисом в X, если для любого x ∈ X
существует единственная последовательность чисел λk , k ∈ N,
таких, что
                             ∞
                             X
                         x=     λk ek .
                             k=1

Страницы