Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 93
а из непрерывности скалярного произведения следует, что
(x,y) =
∞
X
k=1
a
k
b
k
.
Теорема 2 доказана.
Очевидно, пространство l
2
является сепарабельным, по-
этому из теоремы 2 получаем следующее утверждение.
Теорема 3. Все сепарабельные бесконечномерные гильбер-
товы пространства изоморфны между собой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть H и H
0
— два сепарабель-
ных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласно
теореме 1, в H и H
0
существуют ортонормированные базисы
{e
k
} и {e
0
k
}. Тогда каждому элементу x =
∞
P
k=1
a
k
e
k
поставим в
соответствие элемент x
0
=
∞
P
k=1
a
k
e
0
k
. Легко видеть, что это со-
ответствие является изоморфизмом гильбертовых пространств
H и H
0
.
Теорема 3 доказана.
Из доказанных теорем следует, что если ортонормирован-
ная последовательность {e
k
} является базисом в евклидовом
пространстве E, то его пополнением является гильбертово про-
странство, элементами которого являются всевозможные ряды
∞
P
k=1
a
k
e
k
, у которых {a
k
} ∈ l
2
, и в котором скалярное произве-
дение определяется следующим образом: если
x =
∞
X
k=1
a
k
e
k
, y =
∞
X
k=1
b
k
e
k
,
то
(x,y) =
∞
X
k=1
a
k
b
k
.
        § 5. Пространства со скалярным произведением                    93

а из непрерывности скалярного произведения следует, что
                                      ∞
                                      X
                        (x,y) =             ak bk .
                                      k=1

   Теорема 2 доказана.
   Очевидно, пространство l2 является сепарабельным, по-
этому из теоремы 2 получаем следующее утверждение.
   Теорема 3. Все сепарабельные бесконечномерные гильбер-
товы пространства изоморфны между собой.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть H и H 0 — два сепарабель-
ных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласно
теореме 1, в H и H 0 существуют ортонормированные базисы
                                               ∞
{ek } и {e0k }. Тогда каждому элементу x =
                                               P
                                                 ak ek поставим в
                                                         k=1
                                ∞
                       x0             ak e0k .
                                P
соответствие элемент        =                    Легко видеть, что это со-
                                k=1
ответствие является изоморфизмом гильбертовых пространств
H и H 0.
   Теорема 3 доказана.
   Из доказанных теорем следует, что если ортонормирован-
ная последовательность {ek } является базисом в евклидовом
пространстве E, то его пополнением является гильбертово про-
странство, элементами которого являются всевозможные ряды
P∞
   ak ek , у которых {ak } ∈ l2 , и в котором скалярное произве-
k=1
дение определяется следующим образом: если
                      ∞
                      X                          ∞
                                                 X
                 x=         ak ek ,       y=           bk ek ,
                      k=1                        k=1
то
                                      ∞
                                      X
                        (x,y) =             ak bk .
                                      k=1

Страницы