Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 95
А так как эта функция наименьшее значение принимает при
t = 0, то f
0
(0) = 0, и поэтому
(x
0
− y
0
,y) = 0 ∀y ∈ L.
Если же пространство E комплексное, то
f(t) = kx
0
− y
0
k
2
+ 2t Re(x
0
− y
0
,y) + t
2
kyk
2
,
и поэтому
Re(x
0
− y
0
,y) = 0 ∀y ∈ L.
Аналогично, если рассмотрим функцию
f
1
(t) = kx
0
− y
0
+ ityk
2
,
то получим
Im(x
0
− y
0
,y) = 0 ∀y ∈ L.
Следовательно, и в этом случае выполняется условие (1).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если подпространство L евклидова простран-
ства E полное, то у любого элемента x ∈ E существует орто-
гональная проекция на подпространство L.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 следует, что нужно
доказать, что
∀x
0
∈ E ∃y
0
∈ L : kx
0
− y
0
k = inf
y∈L
kx
0
− yk.
Выберем некоторое x
0
∈ E и положим
d = inf
y∈L
kx
0
− yk
2
.
Тогда существует последовательность {y
n
} элементов из L та-
кая, что
lim
n→∞
kx
0
− y
n
k
2
= d. (3)
Покажем, что эта последовательность фундаментальная.
Легко проверяется, что
ky
n
− y
m
k
2
= 2ky
n
−x
0
k
2
+ 2ky
m
−x
0
k
2
− 4
x
0
−
y
m
+ y
n
2
2
        § 5. Пространства со скалярным произведением                   95

А так как эта функция наименьшее значение принимает при
t = 0, то f 0 (0) = 0, и поэтому
                    (x0 − y0 ,y) = 0     ∀ y ∈ L.
   Если же пространство E комплексное, то
         f (t) = kx0 − y0 k2 + 2t Re(x0 − y0 ,y) + t2 kyk2 ,
и поэтому
                Re(x0 − y0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.
Аналогично, если рассмотрим функцию
                    f1 (t) = kx0 − y0 + ityk2 ,
то получим
                 Im(x0 − y0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.
Следовательно, и в этом случае выполняется условие (1).
   Теорема 1 доказана.
   Теорема 2. Если подпространство L евклидова простран-
ства E полное, то у любого элемента x ∈ E существует орто-
гональная проекция на подпространство L.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 следует, что нужно
доказать, что
        ∀ x0 ∈ E   ∃ y0 ∈ L :      kx0 − y0 k = inf kx0 − yk.
                                               y∈L

   Выберем некоторое x0 ∈ E и положим
                        d = inf kx0 − yk2 .
                             y∈L

Тогда существует последовательность {yn } элементов из L та-
кая, что
                    lim kx0 − yn k2 = d.                 (3)
                       n→∞
   Покажем, что эта последовательность фундаментальная.
   Легко проверяется, что
                                                                   2
                                                        y m + yn
  kyn − ym k2 = 2kyn −x0 k2 + 2kym −x0 k2 − 4 x0 −
                                                            2

Страницы