Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

96 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
для любых n и m. А так как
1
2
(y
m
+ y
n
) ∈ L, то
x
0
−
1
2
(y
m
+ y
n
)
2
> d,
и поэтому
ky
n
− y
m
k
2
6 2kx
0
− y
n
k
2
+ 2kx
0
− y
m
k
2
− 4d.
Из условия (3) следует, что
∀ε
2
∃N : ∀n > N kx
0
− y
n
k
2
< d +
ε
2
4
.
Тогда из (4) получаем:
ky
n
− y
m
k
2
< ε
2
∀n,m > N.
Так как пространство L полное, то существует элемент
y
0
∈ L такой, что y
n
→ y
0
при n → ∞. Из непрерывности
нормы следует, что
lim
n→∞
kx
0
− y
n
k = kx
0
− y
0
k.
Теорема 2 доказана.
5.7. Общий вид линейного функционала
Пусть E — евклидово пространство (действительное или
комплексное).
Лемма 1. Для любого заданного элемента a ∈ E функци-
онал
f(x) = (x,a), x ∈ E, (1)
является линейным и ограниченным, причём
kfk = kak.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность очевидна. Ограничен-
ность следует из неравенства
|f(x)| 6 kak · kxk ∀x ∈ E.
А так как f(a) = kak
2
, то kf k = kak.
96       Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

                                 1
для любых n и m. А так как 2 (ym + yn ) ∈ L, то
                                           2
                            1
                        x0 − (ym + yn )        > d,
                            2
и поэтому
          kyn − ym k2 6 2kx0 − yn k2 + 2kx0 − ym k2 − 4d.
Из условия (3) следует, что
                                                         ε2
          ∀ ε2   ∃N :    ∀n > N      kx0 − yn k2 < d +      .
                                                         4
Тогда из (4) получаем:
                  kyn − ym k2 < ε2       ∀ n,m > N.
   Так как пространство L полное, то существует элемент
y0 ∈ L такой, что yn → y0 при n → ∞. Из непрерывности
нормы следует, что
                    lim kx0 − yn k = kx0 − y0 k.
                   n→∞
     Теорема 2 доказана.
5.7. Общий вид линейного функционала
   Пусть E — евклидово пространство (действительное или
комплексное).
   Лемма 1. Для любого заданного элемента a ∈ E функци-
онал
                  f (x) = (x,a), x ∈ E,             (1)
является линейным и ограниченным, причём
                             kf k = kak.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность очевидна. Ограничен-
ность следует из неравенства
                   |f (x)| 6 kak · kxk     ∀ x ∈ E.
А так как f (a) = kak2 , то kf k = kak.

Страницы