Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

98 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
и поэтому
x −
f(x)
f(z
0
)
z
0
,z
0
= 0 ∀x ∈ H.
Следовательно,
(x,z
0
) = f(x)
kz
0
k
2
f(z
0
)
. (2)
Заметим, что так как f (z
0
) 6= 0, то kz
0
k 6= 0, и поэтому из (2)
получаем
f(x) = (x,a),
где a =
f(z
0
)
kz
0
k
2
z
0
.
Теорема доказана.
Отображения любого линейного нормированного простран-
ства над полем действительных (или комплексных) чисел в
множество действительных (соответственно комплексных) чи-
сел обычно называются функционалами. Множество всех ли-
нейных непрерывных функционалов, определённых на линей-
ном нормированном пространстве X, с естественными опера-
циями сложения двух функционалов и умножения функционала
на число является линейным пространством, которое обозна-
чается X
∗
и называется сопряжнным к X пространством.
Из доказанных выше утверждений следует, что любое гиль-
бертово пространство H и сопряжнное пространство H
∗
изоморфны.
§ 6. Обобщённые функции
6.1. Введение
В пункте 5.1 главы 15 на эвристическом уровне было по-
казано, что для полной характеристики аппарата, которому
соответствует инвариантный относительно сдвигов линейный
оператор A, достаточно знать отклик E(t) этого аппарата на
так называемое единичное импульсное воздействие δ(t) в мо-
мент времени t = 0. А именно, было показано, что отклик ли-
98        Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

и поэтому                           
                    f (x)
                 x−         z0 ,z0       = 0 ∀ x ∈ H.
                    f (z0 )
     Следовательно,
                                          kz0 k2
                        (x,z0 ) = f (x)           .           (2)
                                          f (z0 )
Заметим, что так как f (z0 ) 6= 0, то kz0 k =
                                            6 0, и поэтому из (2)
получаем
                        f (x) = (x,a),
          f (z0 )
где a =           z .
          kz0 k2 0
   Теорема доказана.
   Отображения любого линейного нормированного простран-
ства над полем действительных (или комплексных) чисел в
множество действительных (соответственно комплексных) чи-
сел обычно называются функционалами. Множество всех ли-
нейных непрерывных функционалов, определённых на линей-
ном нормированном пространстве X, с естественными опера-
циями сложения двух функционалов и умножения функционала
на число является линейным пространством, которое обозна-
чается X ∗ и называется сопряжнным к X пространством.
   Из доказанных выше утверждений следует, что любое гиль-
бертово пространство H и сопряжнное пространство H ∗
изоморфны.

                   § 6. Обобщённые функции
6.1. Введение
   В пункте 5.1 главы 15 на эвристическом уровне было по-
казано, что для полной характеристики аппарата, которому
соответствует инвариантный относительно сдвигов линейный
оператор A, достаточно знать отклик E(t) этого аппарата на
так называемое единичное импульсное воздействие δ(t) в мо-
мент времени t = 0. А именно, было показано, что отклик ли-

Страницы