Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 100 стр.

100     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

Легко видеть, что если непрерывные функции f и g порождают
равные функционалы, т.е. если
                                               ◦
          Z                 Z
             f (x)ϕ(x) dx =   g(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C ,
             R               R
то f (x) = g(x) ∀x ∈ R.
   Значение функционала (1) можно трактовать как меру вза-
имодействия функции f и «пробной» функции ϕ. А так как
значения этого взаимодействия однозначно определяют функ-
цию f , то вместо того, чтобы задавать значения f в каждой
точке x ∈ R, можно задавать значения функционала (1) на
«пробных» функциях ϕ.
                                 ◦
    На множестве функций ϕ ∈ C , кроме функционалов вида
(1), есть и другие линейные функционалы. Например, таким
является функционал, обозначаемый δ, который каждой функ-
         ◦
ции ϕ ∈ C ставит в соответствие число ϕ(0), т.е. задаётся
равенством
                                       ◦
                   (δ,ϕ) = ϕ(0), ϕ ∈ C .                  (2)
Ниже будет показано, что этот функционал не может быть за-
дан формулой вида (1) и в этом смысле не порождается никакой
непрерывной (и даже локально интегрируемой) на R функцией.
   Формула (2) определяет так называемую δ-функцию, ко-
торую впервые ввёл в науку в конце 20-х годов П. Дирак как
функцию, обладающую следующими свойствами:
                        Z +∞
    δ(x) = 0 ∀x 6= 0,         δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0) ∀ϕ ∈ C.
                        −∞
Сразу же было показано, что с математической точки зрения
это определение некорректное. Конечно, и сам П. Дирак по-
нимал, что δ-функция не является функцией в классическом
смысле и что она действует как некоторый оператор. Однако
потребовались усилия многих математиков, чтобы найти кор-
ректное определение δ-функции и её производных и затем по-
строить теорию обобщнных функций как линейных непрерыв-