Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 99 стр.

                  § 6. Обобщённые функции                   99


нейного оператора A на входное воздействие f (t) равен свёртке
функций f (t) и E(t):
                        Z
                   Af =    f (τ )E(t − τ ) dτ.
                          R
   Напомним, что при выводе этой формулы единичный им-
пульс δ(t) понимался как предел единичных импульсов дли-
тельности h:
                       ( 0,  если t < 0,
               δh (t) = 1/h, если 0 6 t < h,
                         0,  если t > h,
при h → 0, и считалось, что отклик E(t) оператора A на
импульс δ(t) равен пределу откликов Eh (t) на единичные им-
пульсы δh (t) при h → 0. А так как единичный импульс δ(t)
не может быть обычной функцией точки, то необходимо при-
дать точный математический смысл предельным переходам:
δh (t) → δ(t) и Eh (t) → E(t) при h → 0, да и самому понятию
«единичный импульс δ(t)».
     Один из подходов к решению этих вопросов состоит в прин-
ципиальном расширении представления о функциях. Он исхо-
дит из того, что в природе объекты наблюдения обычно ха-
рактеризуются их взаимодействием с другими объектами, при-
чём для этого достаточно некоторого набора так называемых
«пробных» объектов или приборов. Так и функцию можно ха-
рактеризовать не значениями в отдельных точках, а как не-
который объект, который определённым образом действует на
заданное семейство «пробных» функций.
     Например, каждая непрерывная на R функция f (x) на мно-
        ◦
жестве C финитных непрерывных на R функций ϕ(x) поро-
                                                            ◦
ждает линейный функционал, который каждой функции ϕ ∈ C
ставит в соответствие число
                           Z
                   (f,ϕ) =   f (x)ϕ(x) dx.           (1)
                              R