Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Пространства со скалярным произведением 97
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Если функционал f имеет представление вида
(1), то элемент a определён однозначно.
Действительно, пусть
f(x) = (x,a) и f(x) = (x,b) ∀x ∈ E,
тогда (x,a − b) = 0 ∀x ∈ E, и, в частности, (a − b,a − b) = 0,
поэтому a = b.
Теорема. Любой линейный непрерывный функционал f в
гильбертовом пространстве H имеет представление вида (1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через L ядро функцио-
нала f , т.е. множество всех x ∈ H таких, что f(x) = 0. Легко
видеть, что L является линейным пространством. Из непре-
рывности функционала f следует, что множество L замкнуто.
Действительно, если x
n
∈ L и x
n
→ x при n → ∞, то
f(x) = lim
n→∞
f(x
n
) = 0.
А так как пространство H полное, то пространство L тоже
полное.
Если L = H, т.е. f(x) = 0 ∀x ∈ H, то, очевидно,
f(x) = (0,x) ∀x ∈ H.
Пусть L 6= H, т.е. существует элемент x
0
∈ H такой,
что f(x
0
) 6= 0. Через y
0
обозначим ортогональную проекцию
элемента x
0
в подпространство L и положим
z
0
= x
0
− y
0
.
Тогда f(z
0
) = f(x
0
) 6= 0 и (z
0
,y) = 0 ∀y ∈ L.
Так как
f
x −
f(x)
f(z
0
)
z
0
= 0 ∀x ∈ H,
то
∀x ∈ H x −
f(x)
f(z
0
)
z
0
∈ L,
          § 5. Пространства со скалярным произведением      97

     Лемма 1 доказана.
    Лемма 2. Если функционал f имеет представление вида
(1), то элемент a определён однозначно.
     Действительно, пусть
              f (x) = (x,a) и f (x) = (x,b) ∀ x ∈ E,
тогда (x,a − b) = 0 ∀ x ∈ E, и, в частности, (a − b,a − b) = 0,
поэтому a = b.
   Теорема. Любой линейный непрерывный функционал f в
гильбертовом пространстве H имеет представление вида (1).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через L ядро функцио-
нала f , т.е. множество всех x ∈ H таких, что f (x) = 0. Легко
видеть, что L является линейным пространством. Из непре-
рывности функционала f следует, что множество L замкнуто.
Действительно, если xn ∈ L и xn → x при n → ∞, то
                        f (x) = lim f (xn ) = 0.
                                n→∞
А так как пространство H полное, то пространство L тоже
полное.
   Если L = H, т.е. f (x) = 0 ∀ x ∈ H, то, очевидно,
                        f (x) = (0,x) ∀ x ∈ H.
   Пусть L 6= H, т.е. существует элемент x0 ∈ H такой,
что f (x0 ) 6= 0. Через y0 обозначим ортогональную проекцию
элемента x0 в подпространство L и положим
                              z0 = x0 − y0 .
     Тогда f (z0 ) = f (x0 ) 6= 0 и (z0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.
     Так как                         
                              f (x)
                   f x−             z0 = 0 ∀ x ∈ H,
                            f (z0 )
то
                                      f (x)
                      ∀x ∈ H     x−           z0 ∈ L,
                                      f (z0 )

Страницы