Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 101 стр.

                      § 6. Обобщённые функции                101

ных функционалов на некотором множестве достаточно «хоро-
ших» так называемых «основных функций».
6.2. Пространство D
                                ◦
   Рассмотрим множество C ∞ финитных бесконечно диффе-
ренцируемых функций, заданных на R и принимающих ком-
плексные значения. Это множество с естественными операци-
ями сложения двух функций и умножения функции на число
является линейным пространством. В этом пространстве вве-
дём понятие сходимости.
   Определение 1. Последовательность функций
         ◦
ϕk (x) ∈ C ∞ , k ∈ N, называется сходящейся к функции ϕ(x) ∈
  ◦
∈ C ∞ , если
       1) ∃[a; b] :     supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k;
                         (l)
       2) lim sup ϕk (x) − ϕ(l) (x) = 0 ∀l = 0,1,2, . . ..
             k→∞ x∈R
                                           ◦
   Последовательность функций из C ∞ называется сходя-
                                          ◦
щейся, если существует функция из C ∞ , к которой она схо-
дится.
                                                ◦
   Определение 2. Линейное пространство C ∞ с введённым
понятием сходимости называется пространством D основных
функций.
                                                 ◦
   Если последовательность функций ϕk ∈ C ∞ сходится к
                ◦
функции ϕ ∈ C ∞ в смысле определения 1, то будем говорить,
что последовательность {ϕk } сходится в D к функции ϕ, и
писать:
                ϕk → ϕ в D при k → ∞.
   Очевидно, если supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k и ϕk → ϕ при k → ∞, то
и supp ϕ ⊂ [a; b].
   Легко видеть, что пространство D является полным от-