Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Обобщённые функции 103
0
1
−a
a
x
y
Рис. 2
Пример 1. Легко показать, что
для любого a > 0 функция
ϕ(x) =
(
exp
x
2
x
2
− a
2
, если |x| < a,
0, если |x| > a,
график которой имеет вид «шапочки»
(рис. 2), является финитной и беско-
нечно дифференцируемой. Последова-
тельность
ϕ
k
(x) =
1
k
ϕ(x; a), k ∈ N,
сходится к нулю в пространстве D. Последовательность
ψ
k
(x) =
1
k
ϕ
x
k
; a
, k ∈ N,
тоже сходится к нулю равномерно на R вместе со всеми своими
производными, т.е. удовлетворяет условию 2) из определения
1, однако не сходится к нулю в пространстве D, так как она
не удовлетворяет условию 1): не существует отрезка [a; b], вне
которого все функции ψ
k
(x) равны нулю.
6.3. Обобщённые функции
На пространстве D основных функций рассмотрим линей-
ные непрерывные функционалы. Значение функционала f на
функции ϕ ∈ D будем обозначать (f,ϕ).
Напомним, функционал f, определённый на D, называется
линейным, если
(f,αϕ + βψ) = α(f,ϕ) + β(f,ψ)
для любых чисел α, β и любых ϕ и ψ из D.
Линейный функционал f называется непрерывным, если он
удовлетворяет условию: если ϕ
k
→ 0 в D, то (f,ϕ
k
) → 0 при
k → ∞.
Определение 1. Любой линейный непрерывный функцио-
нал на D называется обобщнной функцией.
                 § 6. Обобщённые функции                   103

    Пример 1. Легко показать, что               y
                                                  1
для любого a > 0 функция
                  x2
          (
            exp 2       , если |x| < a,
  ϕ(x) =       x − a2
            0,            если |x| > a,
график которой имеет вид «шапочки»
                                           −a   0         a x
(рис. 2), является финитной и беско-
нечно дифференцируемой. Последова-             Рис. 2
тельность
                             1
                   ϕk (x) = ϕ(x; a), k ∈ N,
                             k
сходится к нулю в пространстве D. Последовательность
                            1 x 
                  ψk (x) = ϕ      ; a , k ∈ N,
                            k   k
тоже сходится к нулю равномерно на R вместе со всеми своими
производными, т.е. удовлетворяет условию 2) из определения
1, однако не сходится к нулю в пространстве D, так как она
не удовлетворяет условию 1): не существует отрезка [a; b], вне
которого все функции ψk (x) равны нулю.
6.3. Обобщённые функции
   На пространстве D основных функций рассмотрим линей-
ные непрерывные функционалы. Значение функционала f на
функции ϕ ∈ D будем обозначать (f,ϕ).
   Напомним, функционал f , определённый на D, называется
линейным, если
                (f,αϕ + βψ) = α(f,ϕ) + β(f,ψ)
для любых чисел α, β и любых ϕ и ψ из D.
   Линейный функционал f называется непрерывным, если он
удовлетворяет условию: если ϕk → 0 в D, то (f,ϕk ) → 0 при
k → ∞.
   Определение 1. Любой линейный непрерывный функцио-
нал на D называется обобщнной функцией.

Страницы