Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 104 стр.

104     Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

    В множестве обобщённых функций на D естественным
образом вводятся операции сложения двух функций и умноже-
ния функции на число. Именно, для любых двух функций f и
g и любых чисел α и β через αf +βg обозначается функционал,
который на любую функцию ϕ ∈ D действует по формуле
                (αf + βg,ϕ) = α(f,ϕ) + β(g,ϕ).
   Легко видеть, что так определённый функционал αf +
+βg будет линейным и непрерывным, т.е. будет обобщённой
функцией на D. (Докажите это утверждение в качестве упраж-
нения.)
   Таким образом, множество обобщнных функций на D с
естественными операциями сложения двух функций и умно-
жения функции на число является линейным пространством.
Это линейное пространство будем обозначать D0 . Оно явля-
ется пространством, сопряжённым к пространству D.
   Лемма 1. Для любой локально интегрируемой на R функ-
ции f функционал
                      Z
              (f,ϕ) =   f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D,        (1)
                        R
является обобщённой функцией.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность функционала (1) оче-
видна, докажем его непрерывность.
   Пусть ϕk → 0 при k → ∞, и пусть supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k. Тогда
                         Z b
             |(f,ϕk )| 6     |f (x)| · |ϕk (x)| dx 6
                           a
                         Z b
                       6     |f (x)| dx · sup |ϕk (x)| → 0
                       a             x
при k → 0.
   Лемма 1 доказана.
   Определение 2. Обобщённая функция называется регу-
лярной, если она имеет представление вида (1) с некоторой