Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

106 Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства
Действительно, если существует точка x
0
, в которой, на-
пример, f(x
0
) < g(x
0
), то, в силу непрерывности функций f и
g в точке x
0
, существует δ > 0 такое, что
f(x) < g(x) ∀x ∈ (x
0
− δ; x
0
+ δ).
Тогда если ψ(x) = ϕ(x − x
0
; δ), где ϕ(x; δ) — функция «ша-
почка», рассмотренная в предыдущем пункте, то
(f,ψ) =
Z
x
0
+δ
x
0
−δ
f(x)ϕ(x − x
0
; δ) dx <
<
Z
x
0
+δ
x
0
−δ
g(x)ϕ(x − x
0
; δ) dx = (g,ψ),
и поэтому регулярные обобщённые функции, порождаемые
функциями f и g, являются разными.
Аналогично доказывается, что ес ли регулярные обобщён-
ные функции, порождённые локально интегрируемыми функ-
циями f и g равны, то f(x) = g(x) в любой точке x ∈ R, где
функции f и g непрерывны.
По аналогии с обычными функциями, обобщённую функ-
цию f, которая действует на основные функции от переменной
x, удобно обозначать f(x). Например, δ-функцию, определён-
ную по формуле (2), обозначают δ(x), а обобщённую функцию,
которая каждой функции ϕ(x) ∈ D ставит в соответствие её
значение в точке x
0
обозначают δ(x − x
0
) и пишут
(δ(x − x
0
),ϕ(x)) = ϕ(x
0
). (3)
Функция δ(x − x
0
) называется смещнной δ-функцией.
Обычно регулярную обобщённую функцию отождествляют
с функцией, которая её порождает. Например, говорят об об-
общённых функциях f(x) = x
2
, f(x) =
3
√
x, f(x) = sin x, f (x) =
= |x|, f(x) = sgn x и т.д. В этом смысле множество обычных
функций можно рассматривать как часть множества обобщён-
ных функций.
106      Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства

    Действительно, если существует точка x0 , в которой, на-
пример, f (x0 ) < g(x0 ), то, в силу непрерывности функций f и
g в точке x0 , существует δ > 0 такое, что
               f (x) < g(x) ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ).
Тогда если ψ(x) = ϕ(x − x0 ; δ), где ϕ(x; δ) — функция «ша-
почка», рассмотренная в предыдущем пункте, то
                     Z x0 +δ
             (f,ψ) =         f (x)ϕ(x − x0 ; δ) dx <
                              x0 −δ
                  Z   x0 +δ
              <               g(x)ϕ(x − x0 ; δ) dx = (g,ψ),
                  x0 −δ

и поэтому регулярные обобщённые функции, порождаемые
функциями f и g, являются разными.
    Аналогично доказывается, что если регулярные обобщён-
ные функции, порождённые локально интегрируемыми функ-
циями f и g равны, то f (x) = g(x) в любой точке x ∈ R, где
функции f и g непрерывны.
    По аналогии с обычными функциями, обобщённую функ-
цию f , которая действует на основные функции от переменной
x, удобно обозначать f (x). Например, δ-функцию, определён-
ную по формуле (2), обозначают δ(x), а обобщённую функцию,
которая каждой функции ϕ(x) ∈ D ставит в соответствие её
значение в точке x0 обозначают δ(x − x0 ) и пишут
                       (δ(x − x0 ),ϕ(x)) = ϕ(x0 ).             (3)

   Функция δ(x − x0 ) называется смещнной δ-функцией.
   Обычно регулярную обобщённую функцию отождествляют
с функцией, которая её порождает. Например, говорят об об-
                                       √
общённых функциях f (x) = x2 , f (x) = 3 x, f (x) = sin x, f (x) =
= |x|, f (x) = sgn x и т.д. В этом смысле множество обычных
функций можно рассматривать как часть множества обобщён-
ных функций.

Страницы