Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Обобщённые функции 107
Если функция f(x), x ∈ R, локально интегрируема и x =
= ay + b, a 6= 0, то для любой ϕ ∈ D справедливо равенство
Z
R
f(ay + b)ϕ(y) dy =
Z
R
f(x) ·ϕ
x − b
a
1
a
dx,
т.е.
(f(ay + b),ϕ(y)) =
f(x),
1
a
ϕ
x − b
a

. (4)
Для любой обобщённой функции f(x) из D
0
равенство (4)
примем за определение функции f(ay + b), где a 6= 0. Согласно
этому определению,
(δ(x −x
0
),ϕ(x)) = (δ(x),ϕ(x + x
0
)) = ϕ(x
0
),
что не противоречит определению (3).
6.4. Умножение обобщённых функций
Для обобщённых функций на D, кроме линейных операций,
можно определить операцию умножения на бесконечно диффе-
ренцируемую функцию. Именно, для любой обобщённой функ-
ции f (x) и любой бесконечно дифференцируемой функции ψ(x)
произведение ψ(x)f(x) определим как функционал на D, задан-
ный равенством
(ψf,ϕ) = (f,ψϕ) ∀ϕ ∈ D. (1)
Очевидно, что так определённый функционал ψf является
линейным и непрерывным на D.
Пример 1.
(1 + x)δ(x) = δ(x). (2)
Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
((1 + x)δ(x),ϕ(x)) = (δ(x),(1 + x)ϕ(x)) = ϕ(0) = (δ(x),ϕ(x)),
что и доказывает равенство (2).
Аналогично, из определения (1) следует, что
ψ(x)δ(x) = ψ(0)δ(x)
для любой бесконечно дифференцируемой на R функции ψ(x).
                 § 6. Обобщённые функции                    107


    Если функция f (x), x ∈ R, локально интегрируема и x =
= ay + b, a 6= 0, то для любой ϕ ∈ D справедливо равенство
                                                 
                                               x−b 1
        Z                       Z
            f (ay + b)ϕ(y) dy =    f (x) · ϕ           dx,
          R                      R              a   a
т.е.                                            
                                        1     x−b
             (f (ay + b),ϕ(y)) = f (x), ϕ            .     (4)
                                        a       a
    Для любой обобщённой функции f (x) из D0 равенство (4)
примем за определение функции f (ay + b), где a 6= 0. Согласно
этому определению,
         (δ(x − x0 ),ϕ(x)) = (δ(x),ϕ(x + x0 )) = ϕ(x0 ),
что не противоречит определению (3).
6.4. Умножение обобщённых функций
   Для обобщённых функций на D, кроме линейных операций,
можно определить операцию умножения на бесконечно диффе-
ренцируемую функцию. Именно, для любой обобщённой функ-
ции f (x) и любой бесконечно дифференцируемой функции ψ(x)
произведение ψ(x)f (x) определим как функционал на D, задан-
ный равенством
                  (ψf,ϕ) = (f,ψϕ) ∀ϕ ∈ D.                   (1)
   Очевидно, что так определённый функционал ψf является
линейным и непрерывным на D.
   Пример 1.
                    (1 + x)δ(x) = δ(x).                     (2)
   Действительно, для любой функции ϕ ∈ D
 ((1 + x)δ(x),ϕ(x)) = (δ(x),(1 + x)ϕ(x)) = ϕ(0) = (δ(x),ϕ(x)),
что и доказывает равенство (2).
   Аналогично, из определения (1) следует, что
                     ψ(x)δ(x) = ψ(0)δ(x)
для любой бесконечно дифференцируемой на R функции ψ(x).

Страницы