Функциональные пространства. Яковлев Г.Н. - 105 стр.

                 § 6. Обобщённые функции                   105

локально интегрируемой функцией f . В противном случае об-
общённая функция называется сингулярной.

   Лемма 2. Функционал δ, определённый формулой
                     (δ,ϕ) = ϕ(0), ϕ ∈ D,                  (2)
является сингулярной обобщённой функцией.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность и непрерывность
функционала (2) очевидна. Докажем, что он не может быть
представлен в виде (1).
   Допустим, что существует локально интегрируемая функ-
ция f такая, что
                               Z
                      (δ,ϕ) =    f (x)ϕ(x) dx.
                              R

Вместо ϕ(x) подставим функцию ϕ(x; a), рассмотренную в пре-
дыдущем пункте. Тогда
                       Z a                   Z a
                                   x2
   Z
     f (x)ϕ(x; a) dx =    f (x)e x2 −a2
                                        dx 6    |f (x)| dx → 0
    R                    −a                 −a

при a → +0. С другой стороны, согласно формуле (2),
              Z
                 f (x)ϕ(x; a) dx = ϕ(0; a) = 1.
                 R
Следовательно, наше допущение неверное.
   Лемма 2 доказана.
   Определение 3. Обобщённая функция, определяемая фор-
мулой (2), называется δ-функцией.
   Очевидно, если непрерывные функции f и g на R равны,
то соответствующие регулярные обобщённые функции тоже
равны. Справедливо и обратное утверждение: если регуляр-
ные обобщённые функции, порождённые непрерывными функ-
циями f и g, равны, то f (x) = g(x) ∀x ∈ R.